Question

如圖所示，在以O為圓心，半徑為R=10cm的圓形區(qū)域內，有一個水平方向的勻強磁場，磁感應強度大小為B=0.1T，方向垂直紙面向外。豎直平行放置的兩金屬板A、K相距為d=20mm，連在如圖所示的電路中，電源電動勢E=91V，內阻r=1Ω定值電阻R­₁=10Ω，滑動變阻器R₂的最大阻值為80Ω，S₁、S₂為A、K板上的兩上小孔，且S₁、S₂跟O點在垂直極板的同一直線上，OS₂=2R，另有一水平放置的足夠長的熒光屏D，O點跟熒光屏D之間的距離為H=2R。比荷為2×10⁵C/kg的正離子流由S₁進入電場后，通過S₂向磁場中心射去，通過磁場后落到熒光屏D上。離子進入電場的初速度、重力、離子之間的作用力均可忽略不計。問：  

（1）請分段描述正離子自S₁到熒光屏D的運動情況。

（2）如果正離子垂直打在熒光屏上，電壓表的示數多大？

（3）調節(jié)滑動變阻器滑片P的位置，正離子到達熒光屏的最大范圍多大？

Answer 1

解：（1）正離子在兩金屬板間做勻加速直線運動，離開電場后做勻速直線運動，進入磁場后做勻速圓周運動，離開磁場后，離子又做勻速直線運動，直到打在熒光屏上。

   （2）設離子由電場射出后進入磁場時的速度為v。因離子是沿圓心O的方向射入磁場，由對稱性可知，離子射出磁場時的速度方向的反向延長線也必過圓心O。離開磁場后，離子垂直打在熒光屏上（圖中的O′點），則離子在磁場中速度方向偏轉了90°，離子在磁場中做圓周運動的徑跡如圖答1所示。

由幾何知識可知，離子在磁場中做圓周運動的圓半徑cm              ①

設離子的電荷量為q、質量為m，進入磁場時的速度為v有

由，得         ②                                                                    

設兩金屬板間的電壓為U，離子在電場中加速，由動能定理有：

                       ③

而                ④

由②③兩式可得          ⑤

代入有關數值可得U = 30V，也就是電壓表示數為30V。

   （3）因兩金屬板間的電壓越小，離子經電場后獲得的速度也越小，離子在磁場中作圓周運動的半徑越小，射出電場時的偏轉角越大，也就越可能射向熒光屏的左側。

由閉合電路歐姆定律有，1A

當滑動片P處于最右端時，兩金屬板間電壓的最大，為= 90V；

當滑動片P處于最左端時，兩金屬板間電壓最小，為= 10V；

兩板間電壓為10V時，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最左端點，

由②③可解得離子射出電場后的速度大小為v₁ = 2×10³m/s，離子在磁場中做圓運動的半徑為r₁ = 0.1m，或直接根據⑤式求得r₁ = 0.1m，此時粒子進入磁場后的徑跡如圖答2所示，

O₁為徑跡圓的圓心，A點為離子能射到熒光屏的最左端點。由幾何知識可得：

，所以（1分）

所以

cm = 20cm   （1分）

而兩板間電壓為V時，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最右端點，

此時粒子進入磁場后的徑跡如圖答3所示，

同理由②③可解得離子射出電場后的速度大小為v₂ = 6×10³m/s，

離子在磁場中做圓運動的半徑為r₂ = 0.3m，或直接由⑤式求得r₂ = 0.3m，

由幾何知識可得

即β= 120°                                                                                                          

所以cm = 20cm

離子到達熒光屏上的范圍為以O′為中點的左右兩側20cm。