Question

渦流制動是磁懸浮列車在高速運行時進行制動的一種方式，某研究所用制成的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的渦流制動過程．如圖所示，模型車的車廂下端安裝有電磁鐵系統(tǒng)，電磁鐵系統(tǒng)能在其下方的水平軌道（間距為L₁）中的長為L₁、寬為L₂的矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生勻強磁場，該磁場的磁感應強度大小為B、方向豎直向下．將長大于L₁、寬為L₂的單匝矩形線圈等間隔鋪設(shè)在軌道正中央，其間隔也為L₂．每個線圈的電阻為R，導線粗細忽略不計．在某次實驗中，啟動電磁系統(tǒng)開始制動后，電磁鐵系統(tǒng)剛好完整滑過了n個線圈．已知模型車的總質(zhì)量為m，空氣阻力不計．求：
（1）在電磁鐵系統(tǒng)的磁場全部進入任意一個線圈的過程中，通過線圈的電荷量q；
（2）在剎車過程中，線圈所產(chǎn)生的總電熱Q；
（3）電磁鐵系統(tǒng)剛進入第k（k＜n）個線圈時，線圈中的電功率P．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律求出平均電流的大小，根據(jù)q=It求出通過的電量．
（2）根據(jù)牛頓第二定律、安培力公式、切割產(chǎn)生的感應電動勢公式和閉合電路歐姆定律，采用微分的方法求出初速度的大小，再根據(jù)能量守恒定律求出線圈所產(chǎn)生的總電熱．
（3）根據(jù)微分法求出的速度變化量，得出電磁鐵系統(tǒng)剛進入第k（k＜n）個線圈時速度的變化量，從而求出此時的速度大小，從而根據(jù)P=

(BL1vk-1)2

R

求出線圈中的電功率

解答：解：（1）在電磁系統(tǒng)滑進線框上方△t的過程中，線框中產(chǎn)生的平均感應電動勢

.

E

=

Bl1l2

△t

平均電流

.

I

=

. E

R

線框的電荷量q=

.

I

△t=

BL1L2

R

．
（2）電磁系統(tǒng)在線框上方任一時刻以速度v運動時，均有一個L1邊在磁場中切割磁感線運動，電磁鐵會受到線框作用的阻力，大小等于線框所受的安培力．
F=BIL₁，I=

BLv1

R

，F(xiàn)=

B2L2v1

R

磁鐵系統(tǒng)減速運動時的瞬時加速度a=

B2L12v

mR

．
經(jīng)過極短的時間△t，速度減小△v，運動的位移△x
a△t=

B2L12v

mR

△t，
即△v=

B2L12△x

mR

△v=

B2L12

mR

△x
即有v0=

B2L12

mR

2nL2，其中v₀為開始剎車時的初速度
由能量守恒定律知，線框中產(chǎn)生的總熱量Q=

1

2

mv02
代入得，Q=

2B4L14n2L22

mR2

．
（3）電磁鐵剛穿出第（k-1）個磁場區(qū)域時，速度為v_k-1，
v0-vk-1=

B2L12

mR

?2(k-1)L2
得vk-1=

B2L12

mR

?2(n-k+1)L2
線圈的電功率P=

(BL1vk-1)2

R

則P=

B6L16

m2R3

?4(n-k+1)2L22．
答：（1）在電磁鐵系統(tǒng)的磁場全部進入任意一個線圈的過程中，通過線圈的電荷量為

BL1L2

R

．
（2）在剎車過程中，線圈所產(chǎn)生的總電熱為

2B4L14n2L22

mR2

．
（3）線圈中的電功率

B6L16

m2R3

?4(n-k+1)2L22．

點評：本題物理情境很新，但仍是常規(guī)物理模型，類似于磁場不動線圈在動的題型．（2）（3）問對學生的能力要求較高，需采用微分的思想進行解決．