Question

18．一輕質彈簧直立在地面上，其勁度系數(shù)k=200N/m，彈簧的上端與空心物體A連接，物體B置于A內，B的上下表面恰好與A接觸，如圖所示．A和B質量均為1kg，先將A向上抬高使彈簧伸長10cm后由靜止釋放，A和B一起做上下方向的簡諧運動．已知彈簧的彈性勢能取決于彈簧形變大�。╣取10m/s²，阻力不計）．求：
（1）物體A的振幅；
（2）物體B的最大速率；
（3）在最高點和最低點時A對B的作用力．

Answer 1

分析 （1）簡諧運動的振幅A是振動物體離開平衡位置的最大距離，根據(jù)此定義，可先求出振子在平衡位置時，彈簧的壓縮量，即可求解A．
（2）振子到達平衡位置時B的速率最大，從開始到平衡位置，運用機械能守恒定律列式，可求出B的最大速率．
（3）先由整體法求出加速度，再隔離B，運用牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）在平衡位置處彈簧的彈力等于A、B的重力，所以從原長到平衡位置彈簧壓縮量：
x₁=$\frac{2mg}{k}=\frac{2×1×10}{200}$=0.1m=10cm
則：振幅A=x+x₁=20 cm．（式中x為抬高A時彈簧的伸長量）
（2）最大速率在平衡位置，從最高點到平衡位置過程中，前后位置彈簧的彈性勢能相等，因此重力勢能轉化為動能．
（m_A+m_B）g•A=（m_A+m_B）v²
解得：v=2 m/s
（3）在最高點對A、B整體受到的重力和彈力方向相同，根據(jù)牛頓第二定律：
（m_A+m_B）g+kx=（m_A+m_B）a
代入數(shù)據(jù)得：a=30m/s²
對B：設A對B的力為F₁，
則：F₁+m_Bg=m_Ba，所以：F₁=m_Ba-m_Bg=1×（30-10）=20N，方向豎直向下
在最低點：根據(jù)簡諧振動的對稱性，整體具有豎直向上的加速度，大小仍為a，
對B：設A對B的力為F₂
則：F₂-m_Bg=m_Ba
所以：F₂=m_Bg+m_Ba=1×（10+30）=40N
方向豎直向上
答：（1）物體A的振幅是20cm；
（2）物體B的最大速率是2m/s；
（3）在最高點和最低點時A對B的作用力分別是20N，方向豎直向下和40N，方向豎直向上．

點評 本題要緊扣振幅的定義，運用胡克定律、牛頓第二定律和機械能守恒結合進行分析和求解．