Question

3．炮從掩蔽所下向外射擊，掩蔽所與水平面傾斜成角α（如圖），炮位于離掩蔽所的地基（B 點(diǎn)）相距l(xiāng)的A點(diǎn)處，炮彈的初速度 v₀，炮彈飛行的軌道位于圖面上，求炮彈飛行的最遠(yuǎn)射程L_max．

Answer 1

分析 對于一般的拋體運(yùn)動，當(dāng)拋射角為45°時射程最大，本題中主要問題在于掩蔽所的影響，故根據(jù)拋體運(yùn)動規(guī)律列式，再根據(jù)掩蔽所與水平面傾斜角進(jìn)行討論，即可明確可能的最大射程．

解答 解：若無掩蔽所的影響，拋射角為45°時最大射程為：
s_m=$\frac{{2v}_{0}sin45°}{g}{v}_{0}cos45°$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$；
若拋射角為45°時，彈道軌跡恰與掩蔽所相切，則有：
$\frac{{v}_{0}sin45°-gt}{{v}_{0}cos45°}$=tanα    （1）
v₀sin45°t-$\frac{1}{2}$gt²=（l+v₀cos45）tanα           （2）
聯(lián)立解以上兩式可得：
α=1+$\frac{2gl}{{v}_{0}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{gl（{v}_{0}^{2}+gl）}}{{v}_{0}^{2}}$
討論可知：
（1）當(dāng)α≥arctan[1+$\frac{2gl}{{v}_{0}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{gl（{v}_{0}^{2}+gl）}}{{v}_{0}^{2}}$]時
s_m=$\frac{2{v}_{0}sin45°}{g}$v₀cos45°=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
（2）當(dāng)α＜arctan[1+$\frac{2gl}{{v}_{0}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{gl（{v}_{0}^{2}+gl）}}{{v}_{0}^{2}}$]時
設(shè)拋射角為θ時的彈道軌跡恰與掩蔽所相切，此時射程最大，則有：
$\frac{{v}_{0}sinθ-gt}{{v}_{0}cosθ}$=tanα    （3）
v₀sinθt-$\frac{1}{2}$gt²=（1+v₀cosθt）tanα    （4）
解以上兩式可得：
t=$\sqrt{\frac{2stanα}{g}}$
代入（3）整理可得：
sin（θ-α）=$\frac{\sqrt{2gltanα}cosα}{{v}_{0}}$
由數(shù)學(xué)規(guī)律可得：
θ=α+arcsin$\frac{\sqrt{2gltanα}cosα}{{v}_{0}}$=
α+arcsin$\frac{\sqrt{glsin2α}}{{v}_{0}}$
則最大射程為：
S_m=v₀cosθ$\frac{2{v}_{0}sinθ}{g}$=$\frac{{v}_{0}sin2θ}{g}$
即S_m=$\frac{{{v}^{2}}_{0}}{g}$sin[2（α+arcsin$\frac{\sqrt{glsin2α}}{{v}_{0}}$）]
答：當(dāng)α≥arctan[1+$\frac{2gl}{{v}_{0}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{gl（{v}_{0}^{2}+gl）}}{{v}_{0}^{2}}$]時，最大射程為：$\frac{2{v}_{0}sin45°}{g}$v₀cos45°=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
（2）當(dāng)α＜arctan[1+$\frac{2gl}{{v}_{0}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{gl（{v}_{0}^{2}+gl）}}{{v}_{0}^{2}}$]時最大射程為：$\frac{{{v}^{2}}_{0}}{g}$sin2（α+arcsin$\frac{\sqrt{glsin2α}}{{v}_{0}}$）

點(diǎn)評 本題考查運(yùn)動的合成與分解的應(yīng)用及拋體運(yùn)動的結(jié)合，題目的難點(diǎn)在于正確進(jìn)行分析并進(jìn)行討論，要求學(xué)生具有較深厚的數(shù)學(xué)功底才能準(zhǔn)確求解；面向的應(yīng)為參加競賽的學(xué)生．