Question

8．如圖，一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面（紙面），O為圓心．在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面向外的勻強磁場，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子沿圖中直徑從圓上的A點射入柱形區(qū)域，在圓上的D點離開該區(qū)域，已知圖中θ=120°，現(xiàn)將磁場換為豎直向下的勻強電場，同一粒子以同樣速度沿直徑從A點射入柱形區(qū)域，也在D點離開該區(qū)域．若磁感應強度大小為B，不計重力，試求：
（1）電場強度E的大�。�
（2）經(jīng)磁場從A到D的時間與經(jīng)電場從A到D的時間之比．

Answer 1

分析 （1）利用幾何關(guān)系求出粒子的半徑，分別寫在電場中運動的水平、豎直的運動方程、在磁場中的向心力方程，聯(lián)立可求解E；
（2）用圓周運動的周期公式和平拋的豎直分運動公式來分別求解時間，再作比．

解答 解：（1）粒子在磁場中做圓周運動．設圓周的半徑為r，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
  
由幾何關(guān)系得：r=$\sqrt{3}R$；
再考慮粒子在電場中的運動．設電場強度的大小為E，粒子在電場中做類平拋運動．設其加速度大小為a，由牛頓第二定律和帶電粒子在電場中的受力公式得：qE=ma
由運動學公式得 $\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由幾何關(guān)系如圖，水平位移為：AC=AO+OC=R+Rcos∠COD=R+Rcos60°=$\frac{3R}{2}$；
水平方向作勻速直線運動，有：$\frac{3}{2}$R=vt  
  式中t是粒子在電場中運動的時間．聯(lián)立各式得：E=$\frac{8\sqrt{3}}{3}\frac{Rq{B}^{2}}{m}$；
  （2）由以上各式解得在電場中的運動時間為t=$\frac{3m}{4qB}$；$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$
     在磁場中運動時間t′=$\frac{πm}{3qB}$；
   所以$\frac{t′}{t}=\frac{4π}{9}$；
答：（1）電場強度E的大小為$\frac{16\sqrt{3}}{9}\frac{Rq{B}^{2}}{m}$；
    （2）經(jīng)磁場從A到D的時間與經(jīng)電場從A到D的時間之比為$\frac{4π}{9}$．

點評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動，在電場中關(guān)鍵是兩個方向的運動分析，在磁場中關(guān)鍵是“找圓心、畫軌跡、求半徑、算周期”．本題計算量較大，難度較高．