Question

【題目】如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑絕緣水平臺(tái)左端固定一被壓縮的絕緣輕質(zhì)彈簧，一個(gè)質(zhì)量m=0.04kg、電量q=+2×10﹣4C的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶電小球與彈簧接觸但不栓接．某一瞬間釋放彈簧彈出小球，小球從水平臺(tái)右端A點(diǎn)飛出，恰好能沒(méi)有碰撞地落到粗糙傾斜軌道的最高B點(diǎn)，并沿軌道滑下．已知AB的豎直高度h=0.45m，傾斜軌道與水平方向夾角為α=37°、傾斜軌道長(zhǎng)為L=2.0m，帶電小球與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．傾斜軌道通過(guò)光滑水平軌道CD與光滑豎直圓軌道相連，在C點(diǎn)沒(méi)有能量損失，所有軌道都絕緣，運(yùn)動(dòng)過(guò)程小球的電量保持不變．只有過(guò)山車(chē)模型的豎直圓軌道處在范圍足夠大豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)E=2.0×103V/m．（cos37°=0.8，sin37°=0.6，取g=10m/s2）求：

(1)被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能？

(2)要使小球不離開(kāi)軌道（水平軌道足夠長(zhǎng)），豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？

(3)如果豎直圓弧軌道的半徑R=0.9m，小球進(jìn)入軌道后可以有多少次通過(guò)豎直圓軌道上距水平軌道高為0.01m的某一點(diǎn)P？

Answer 1

【答案】(1)0.32J (2)或 (3)6

【解析】

(1) 據(jù)小球從A到B平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出小球到B點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由速度的分解求出小球到A點(diǎn)的速度；對(duì)彈簧將球彈出過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒，求出小球被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能。

(2) 要使小球不離開(kāi)軌道，有兩種臨界情況：第一種情況：是恰好過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，先由牛頓第二定律和向心力知識(shí)求出到最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求解軌道半徑。第二種情況：小球恰好到豎直圓軌道最右端，由動(dòng)能定理求解軌道半徑。

(3) 根據(jù)R=0.9m與上題結(jié)果中軌道半徑R的關(guān)系，知道小球沖上圓軌道H1=0.825m高度時(shí)速度變?yōu)?/span>0，然后返回傾斜軌道h1高處再滑下，然后再次進(jìn)入圓軌道達(dá)到的高度為H2．對(duì)兩個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理或功能關(guān)系求出H2與H1的關(guān)系，歸納得到n次上升高度Hn，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解。

(1) 小球A到B平拋運(yùn)動(dòng)：，代入數(shù)據(jù)解得：

B點(diǎn)時(shí)：，得：

被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能：

(2) B點(diǎn)：

B到C：，代入數(shù)據(jù)解得：

①恰好過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)：

從C到圓軌道最高點(diǎn)：

解得：

②恰好到豎直圓軌道最右端時(shí)：

解得：

要使小球不離開(kāi)軌道（水平軌道足夠長(zhǎng)），豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿(mǎn)足或

(3) 根據(jù)，小球沖上圓軌道H1=0.825m高度時(shí)速度變?yōu)?/span>0，然后返回傾斜軌道h1高處再滑下，然后再次進(jìn)入圓軌道達(dá)到的高度為H2，則：

整理得：，之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往返運(yùn)動(dòng)。

所以n次進(jìn)入圓軌道上升高度(n＞0)

，則當(dāng)n=4時(shí)，上升的最大高度小于0.01m

即小球共有6次通過(guò)距水平軌道高為0.01m的某一點(diǎn)。