Question

8．如圖所示，一個邊緣帶有凹槽的金屬圓環(huán)，沿其直徑裝有一根長2L的金屬桿AC，可繞通過圓環(huán)中心的水平軸O轉(zhuǎn)動．將一根質(zhì)量不計的足夠長細繩一端固定于槽內(nèi)并將繩繞于圓環(huán)槽內(nèi)，繩子的另一端懸掛了一個質(zhì)量為m的物體．圓環(huán)的一半處在磁感應(yīng)強度為B，方向垂直環(huán)面向里的勻強磁場中．現(xiàn)將物體由靜止釋放，若金屬圓環(huán)和金屬桿單位長度的電阻均為R．忽略所有摩擦和空氣阻力．
（1）設(shè)某一時刻圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為ω₀，且OA邊在磁場中，請求出此時金屬桿OA產(chǎn)生電動勢的大��；
（2）請求出物體在下落中可達到的最大速度；
（3）當物體下落達到最大速度后，金屬桿OC段剛要進入磁場時，桿的A、O兩端之間電壓多大？

Answer 1

分析 （1）已知金屬桿轉(zhuǎn)動的角速度，根據(jù)：$E=\overline{v}BL$求出金屬桿切割測磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢；
（2）根據(jù)歐姆定律求出金屬桿中的電流，根據(jù)安培力的公式求得金屬桿受到的安培力，最后求出物體下落的最大速度；
（3）根據(jù)串聯(lián)電路的分壓特點即可求出CO兩端的電壓．

解答 解：（1）已知金屬桿轉(zhuǎn)動的角速度，OA產(chǎn)生的電動勢：$E=BL•\frac{{ω}_{0}L}{2}=\frac{1}{2}B{L}^{2}{ω}_{0}$
（2）等效電路如圖所示，兩個半圓部分的電阻并聯(lián)后與另一半半徑上的電阻串聯(lián)，
${R}_{外1}=\frac{πLR}{2}$
R_外2=LR
r=LR

當達到最大速度時，重物的重力的功率等于電路中消耗的電功率：
$mgv=\frac{{E}^{2}}{{R}_{總}}=\frac{{E}^{2}}{{R}_{外1}+{R}_{外2}+r}$
其中：v=ω₀L
聯(lián)立以上公式，解得：$v=\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$
（3）當物體下落達到最大速度后，桿受到的安培力的力矩與物體的力矩相等，得：
$BIL•\frac{L}{2}=mg•L$
所以O(shè)A上的電流大小為：$I=\frac{2mg}{BL}$
當OC段在磁場中時，
${U}_{AO}=\frac{2mg}{BL}（\frac{πLR}{2}+LR）=\frac{2mgR}{B}（1+\frac{π}{2}）$
答：（1）設(shè)某一時刻圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為ω₀，且OA邊在磁場中，此時金屬桿OA產(chǎn)生電動勢的大小是$\frac{1}{2}B{L}^{2}{ω}_{0}$．
（2）物體在下落中可達到的最大速度$v=\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$．
（3）當物體下落達到最大速度后，金屬桿OC段進入磁場時，桿A、O兩端電壓是$\frac{2mgR}{B}（1+\frac{π}{2}）$．

點評 本題考查了求安培力的功率、產(chǎn)生的內(nèi)能，求出感應(yīng)電動勢、安培力、應(yīng)用能量守恒定律即可正確解題．