Question

12．一平板車(chē)的質(zhì)量M=100kg，停在水平路面上，車(chē)身的平板離地面的高度h=1.25m．一質(zhì)量m=50kg的物塊置于車(chē)的平板上，它到車(chē)尾端的距離b=1.00m，與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.20，如圖所示．今對(duì)平板車(chē)施一水平方向的恒力，使車(chē)向右行駛，結(jié)果物塊從車(chē)板上滑落，物塊剛離開(kāi)車(chē)板的時(shí)刻，車(chē)向前行駛的距離s₀=2.0m，不計(jì)路面與平板車(chē)間以及輪軸之間的摩擦，取g=10m/s²，求：
（1）物塊沒(méi)有離開(kāi)平板車(chē)時(shí)物塊的加速度和物塊剛要離開(kāi)平板車(chē)時(shí)平板車(chē)的速度．
（2）物塊落地時(shí)，落地點(diǎn)到車(chē)尾的水平距離是多少？
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到物塊落地前瞬間，物塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)，機(jī)械能的變化量為多少？

Answer 1

分析 （1）以物塊m為研究對(duì)象進(jìn)行分析，m在車(chē)板上的水平方向只受一個(gè)摩擦力f的作用，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．以小車(chē)為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出物塊剛要離開(kāi)平板車(chē)時(shí)平板車(chē)的速度；
（2）物塊從平板車(chē)上滑落后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移．對(duì)平板車(chē)M，在m未滑落之前，水平方向受二力作用，即F和物塊對(duì)平板車(chē)的摩擦力f，二者方向相反，當(dāng)m從平板車(chē)的B點(diǎn)滑落以后，平板車(chē)水平方向只受F作用，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，分別根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出位移，進(jìn)而可求得物塊落地時(shí)，落地點(diǎn)到車(chē)尾的水平距離．
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到物塊落地前瞬間，物塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)，增加的機(jī)械能等于滑塊離開(kāi)小車(chē)時(shí)的動(dòng)能與小車(chē)的末動(dòng)能的和．

解答 解：（1）以m為研究對(duì)象進(jìn)行分析，m在車(chē)板上的水平方向只受一個(gè)摩擦力f的作用，為：f=μmg，
根據(jù)牛頓第二定律得：f=ma₁     
解得：a₁=μg=0.20×10m/s²=2m/s²   
如圖，m從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，s_AB=s₀-b=1.00m，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度υ_B為：υ_B=$\sqrt{2{a}_{1}{s}_{AB}}$=$\sqrt{2×2×1.00}$m/s=2m/s   
物塊在平板車(chē)上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{2}$=1s，在相同時(shí)間里平板車(chē)向前行駛的距離為s₀=2.0m，則有：s₀=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$
所以物塊在平板車(chē)的加速度為：a₂=$\frac{2{s}_{0}}{{t}_{1}^{2}}$=$\frac{2×2}{1}$=4m/s²
此時(shí)平板車(chē)的速度為：v₂=a₂×t₁=4×1=4m/s    
（2）m從B處滑落時(shí)，以υ_B為初速度做平拋運(yùn)動(dòng)，落到C的水平距離為s₁，下落時(shí)間為t₂，如圖所示，
則有：h=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$ 
解得：t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$=0.5 s
s₁=v_Bt₂=2×0.5 m=1.0 m             
對(duì)平板車(chē)M，在m未滑落之前，水平方向受二力作用，即F和物塊對(duì)平板車(chē)的摩擦力f，二者方向相反，平板車(chē)加速度為a₂，由牛頓第二定律得：F-f=Ma₂
則有：F=Ma₂+f=（100×4+0.2×50×10）N=500N       
當(dāng)m從平板車(chē)的B點(diǎn)滑落以后，平板車(chē)水平方向只受F作用，而做加速度為a₃的勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
F=Ma₃  
即：a₃=$\frac{F}{M}$=5m/s²
在m從B滑落到C點(diǎn)的時(shí)間t₂=0.5s內(nèi)，M運(yùn)動(dòng)距離s₂為：
s₂=v₂t₂+$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$=2.625m
物塊落地時(shí)，落地點(diǎn)到車(chē)尾的水平距離s為：
s=s₂-s₁=（2.625-1）m=1.625m 
（3）物塊落地時(shí)平板車(chē)的速度：v₃=v₂+a₃t₂=4+5×0.5=6.5m/s
物塊離開(kāi)平板車(chē)后的機(jī)械能不變，所以物塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)，增加的機(jī)械能等于滑塊離開(kāi)小車(chē)時(shí)的動(dòng)能與小車(chē)的末動(dòng)能的和，即：
$△E=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$=$\frac{1}{2}×50×{2}^{2}+\frac{1}{2}×100×6．{5}^{2}=2212.5$J
答：（1）物塊沒(méi)有離開(kāi)平板車(chē)時(shí)物塊的加速度為2m/s²，物塊剛要離開(kāi)平板車(chē)時(shí)平板車(chē)的速度為4m/s．
（2）物塊落地時(shí)，落地點(diǎn)到車(chē)尾的水平距離是1.625m．
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到物塊落地前瞬間，物塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)，機(jī)械能的變化量為S 2212.5J．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，要求同學(xué)們能根據(jù)受力情況正確分析運(yùn)動(dòng)情況，并能熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式解題，難度較大．