Question

6．如圖甲（俯視），半徑為r的空間中存在方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，水平面上固定一段兩端開口內(nèi)壁光滑的圓弧形細(xì)玻璃管ab（細(xì)管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于r），細(xì)管外側(cè)與磁場邊界重合，其對(duì)應(yīng)的圓心角為60°．在細(xì)玻璃管的右端b處，放置一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球直徑略小于細(xì)管內(nèi)徑．磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示，其中B_o、T_o為已知量．已知當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大過程中，將產(chǎn)生渦旋電場，其電場線是在水平面內(nèi)一系列沿逆時(shí)針方向的同心圓，同一電場線上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等，且滿足E=$\frac{U}{I}$，其中，U為一段圓弧兩端的電勢差，l為對(duì)應(yīng)的弧長．

（l）求0一To內(nèi)，渦旋電場在b處的場強(qiáng)大小E；
（2）若小球從a點(diǎn)離開后恰好能沿半徑為r的軌跡做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球的速率v；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t按圖丙規(guī)律變化，小球恰好不會(huì)離開細(xì)管，求圖丙中的時(shí)間T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)B一t圖象中斜率表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率，運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律即可求出產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢，再根據(jù)電場強(qiáng)度與電勢差之間的關(guān)系式，即可求出渦旋電場在b處的場強(qiáng)大小E；
（2）小球在渦旋電場中加速，運(yùn)用動(dòng)能定理結(jié)合在磁場中洛倫茲力提供向心力，即可求出小球的速率v；
（3）根據(jù)（1）問結(jié)果表示電場強(qiáng)度的表達(dá)式，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)所滿足的幾何對(duì)稱性，聯(lián)立即可求出圖丙中的時(shí)間T．

解答 解：（1）0～T₀內(nèi)，在半徑為r的圓周上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢：U_感=$\frac{△φ}{△t}$=$π{r}^{2}\frac{△B}{△t}$ ①
由圖乙得：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}}{{T}_{0}}$ ②
根據(jù)題意b處的場強(qiáng)大�。篍=$\frac{{U}_{感}}{2πr}$ ③
由①②③式可得：E=$\frac{r{B}_{0}}{2{T}_{0}}$ ④
（2）令小球的質(zhì)量為m，帶電量為q，小球被渦旋電場加速，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：qE•$\frac{πr}{3}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ⑤
小球離開管恰好能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明磁感應(yīng)強(qiáng)度已經(jīng)穩(wěn)定在B₀，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ⑥
聯(lián)立④⑤⑥式可得：v=$\frac{πr}{3{T}_{0}}$ ⑦
（3）按丙圖規(guī)律變化的磁場，將產(chǎn)生方向周期性變化的渦旋電場，
若小球恰好不能離開細(xì)管，說明小球?qū)⑹艿街芷谛噪妶隽υ诩?xì)管兩端來回運(yùn)動(dòng)，
由（1）可知電場強(qiáng)度大小可表示為E′=$\frac{{rB}_{0}}{T}$ ⑧
小球的加速度a=$\frac{qE′}{m}$=$\frac{qr{B}_{0}}{mT}$ ⑨
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可得：$\frac{1}{3}πr$=2×$\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}$⑩
聯(lián)立⑧⑨⑩式可得：T=4T₀
答：（l）0一T₀內(nèi)，渦旋電場在b處的場強(qiáng)大小E為$\frac{r{B}_{0}}{2{T}_{0}}$；
（2）若小球從a點(diǎn)離開后恰好能沿半徑為r的軌跡做圓周運(yùn)動(dòng)，小球的速率v為$\frac{πr}{3{T}_{0}}$；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t按圖丙規(guī)律變化，小球恰好不會(huì)離開細(xì)管，圖丙中的時(shí)間T為4T₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查感生電場的應(yīng)用，感生電場對(duì)帶電小球產(chǎn)生電場力作用，結(jié)合動(dòng)能定理、電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系公式、牛頓第二定律列式求解；電場和磁場有以下關(guān)系：①均勻變化的磁場產(chǎn)生恒定電場 （法拉第定律）②均勻變化電場產(chǎn)生均勻變化磁場 （電流均勻變化的導(dǎo)體）③恒定磁場不產(chǎn)生電場 ④恒定電場產(chǎn)生恒定磁場