Question

16．如圖所示，固定的凹槽水平表面光滑，其內(nèi)放置L形滑板P，滑板左端為半徑R=1.0m的$\frac{1}{4}$圓弧面，A是圓弧的端點(diǎn)，BC段表面粗糙，長為L=3m，其余段表面光滑，小滑塊P₁和P₂的質(zhì)量均為m=1kg，滑板的質(zhì)量M=4kg．P₁和P₂與BC面的動摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.10和μ₂=0.40，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，開始時(shí)滑板緊靠槽的左端，滑板的右端C與槽的右端相距x=0.1m，P₂靜止在粗糙面的B點(diǎn)，P₁從A點(diǎn)正上方高為h=0.8m處自由落下，經(jīng)過弧面與P₂在B點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞．滑板與槽的右端碰撞后與槽牢固粘連，P₂與槽的碰撞為彈性碰撞，P₁與P₂視為質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²．求：
（1）P₁運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)對滑板的壓力；
（2）P₂在BC段向右滑動時(shí)，滑板的加速度為多大？
（3）P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）P₁從開始運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中，根據(jù)動能定理列式，在B點(diǎn)，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）P₁、P₂碰撞過程，動量和機(jī)械能都守恒，根據(jù)動量守恒定律以及機(jī)械能守恒定律列式求出碰后的速度，再結(jié)合牛頓第二定律分析即可求解；
（3）先判斷滑板與槽碰撞時(shí)，三者有沒有共速，再根據(jù)動量守恒定律以及機(jī)械能守恒定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)基本公式求解．

解答 解：（1）P₁從開始運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中，由動能定理得：
mg（h+R）=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
在B點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
$N-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：N=46N
根據(jù)牛頓第三定律可知，P₁運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)對滑板的壓力大小為46N，方向豎直向上，
（2）P₁、P₂碰撞過程，根據(jù)動量守恒得：mv₀=mv₁+mv₂，根據(jù)機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
解得：v₁=0，v₂=6m/s
設(shè)P₂在BC段向右滑動時(shí)，P₁和P保持相對靜止，加速度大小為a，則：μ₂mg=（M+m）a，a=0.8m/s²，
P₁所受的靜摩擦力大小為：f=ma=0.8N＜f_m=μ₁mg=1N，
故P₂在BC段向右滑動時(shí)，滑板的加速度為0.8m/s²
（3）設(shè)P₁和P運(yùn)動位移為x₀時(shí)，三者共速，則有：
m₀=（M+2m）v，${μ}_{2}mg{x}_{0}=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得：x₀=0.625m＞x，說明滑板與槽碰撞時(shí)，三者未共速，設(shè)此時(shí)P₂的速度大小為v₃，P₁與P的速度大小為v₄，P₂在滑板上的相對位移為L₀，則：
mv₀=mv₃+（M+m）v₄，
${μ}_{2}mg{x}_{\;}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{4}}^{2}$
${μ}_{2}mg{L}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{4}}^{2}$
解得：v₃=4m/s，v₄=0.4m/s，L₀=2.4m
設(shè)滑板與槽碰撞后P₁和P₂繼續(xù)運(yùn)動到靜止的路程分別為L₁和L₂，則有：
${μ}_{2}mg{L}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$
${μ}_{1}mg{L}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{4}}^{2}$
解得：L₁=0.08m，L₂=2m
故最終P₁與P₂間的距離為：△L=2L-L₀-L₁-L₂=1.52m
答：（1）P₁運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)對滑板的壓力為46N；
（2）P₂在BC段向右滑動時(shí)，滑板的加速度為0.8m/s²；
（3）P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為1.52m．

點(diǎn)評 本題為動量守恒定律及能量關(guān)系結(jié)合的綜合題目，難度較大；要求學(xué)生能正確分析過程，并能靈活應(yīng)用功能關(guān)系；合理地選擇研究對象及過程；對學(xué)生要求較高．
不過隨著全國新課改的展開，動量作為了選修內(nèi)容，故此類題目將在新課標(biāo)的考試中不再出現(xiàn)．