Question

7．如圖（a），M、N、P為直角三角形的三個頂點，∠M=37°，MP中點處固定一電量為Q的正點電荷，MN是長為a的光滑絕緣桿，桿上穿有一帶正電的小球（可視為點電荷），小球自N點由靜止釋放，小球的重力勢能和電勢能隨位置x（取M點處x=0）的變化圖象如圖（b）所示，取sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求勢能為E₁時的橫坐標x₁和帶電小球的質量m；
（2）已知在x₁處時小球與桿間的彈力恰好為零，求小球的電量q；
（3）求小球運動到M點時的動能．

Answer 1

分析 （1）由幾何關系求出x₁的位置坐標，利用E₁=mgh即可求小球的質量；
（2）根據受力分析利用垂直于斜面方向合力為零，由庫侖定律和平衡條件列式，即可求的電荷量q；
（3）對于小球的運動過程，利用動能定理求到M點時的速度，從而即可求得動能．

解答 解：（1）根據Q電荷的電場線的分布可知電場力先對帶電小球做負功，后做正功，故電勢能先增大后減小，
故圖（b）中表示電勢能隨位置變化的是圖線Ⅱ．
勢能為E₁時的橫坐標為：x₁=acos37°•$\frac{1}{2}$•cos37°=0.32a；               
x₁處重力勢能為：E₁=mgx₁sin37°             
則有：m=$\frac{{E}_{1}}{g{x}_{1}sin37°}$=$\frac{{E}_{1}}{0.192ga}$=$\frac{125{E}_{1}}{24ga}$；
（2）在x₁處，根據受力分析可知
 k$\frac{Qq}{{r}^{2}}$=mgcos37°，其中r=x₁tan37°=0.24a      
帶入數據，得：q=$\frac{6{E}_{1}a}{25kQ}$；
（3）根據動能定理有：mga sin37°+E₂-E₀=$\frac{1}{2}$mv²       
帶入數據，得：E_k=$\frac{25{E}_{1}}{8}+{E}_{2}-{E}_{0}$；
答：（1）勢能為E₁時的橫坐標0.32a和帶電小球的質量$\frac{125{E}_{1}}{24ga}$；
（2）已知在x₁處時小球與桿間的彈力恰好為零，小球的電量$\frac{6{E}_{1}a}{25kQ}$；
（3）小球運動到M點時的動能$\frac{25{E}_{1}}{8}+{E}_{2}-{E}_{0}$．

點評 分析電場的分布情況及小球的運動情況，通過電場力做功來判斷電勢能的變化從而判斷出圖象，再根據平衡條件和動能定理進行處理．