Question

2．如圖所示，質(zhì)量為M的曲面軌道放在光滑地面上，這是一個$\frac{1}{4}$圓弧，軌道最高點A與圓心等高，軌道最低點B與水平地面相切．質(zhì)量為m的小球以足夠大的初速度v₀沖向曲面軌道，不計一切摩擦和空氣阻力．求：
（1）小球離開A點后相對地面能上升的最大高度；
（2）小球還能否由A點落回軌道？請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）曲面軌道與小球組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出小球上升的高度．
（2）系統(tǒng)水平方向動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律結(jié)合各自運動的特點分析即可．

解答 解：（1）小球滾上曲面軌道的過程中，系統(tǒng)水平方向上動量守恒．小球沿軌道上升的過程中，球的水平分速度從v₀開始逐漸減小，而曲面軌道的同向速度卻從零開始逐漸增大．若v_球＞v_軌道，則球處于上升階段；若v_球＜v_軌道，則球處于下滑階段（v_球為球的水平分速度），因此，小球在最大高度時二者速度相等．設(shè)二者速度均為v，以向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：mv₀=（M+m）v…①?
又因為整個過程中只有重力勢能和動能之間的相互轉(zhuǎn)化，所以系統(tǒng)的機械能守恒．根據(jù)機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh…②
解①②式解得，球上升的最大高度：h=$\frac{{M{v_0}^2}}{2（M+m）g}$；
（2）小球與曲面軌道分離時刻二者在水平方向的速度大小相等，在分離后，曲面軌道水平方向的速度保持不變，而小球在水平方向做勻速直線運動，所以二者在相等的時間內(nèi)水平方向的位移是相等的，所以小球在下落的過程中仍然恰好由A點進入曲面軌道．
答：（1）小球離開A點后相對地面能上升的最大高度是$\frac{{M{v_0}^2}}{2（M+m）g}$；
（2）小球還能由A點落回軌道，理由是二者水平方向都做勻速直線運動，且水平方向的速度相等．

點評 本題考查了求小球上升的高度、小車與小球的速度，分析清楚物體運動過程，應(yīng)用動量守恒定律與機械能守恒定律即可正確解題．