Question

3．河寬l=300m，水速u=1m/s，船在靜水中的速度v=3m/s，欲分別按下列要求過河時，船頭應與河岸成多大角度？過河時間是多少？
（1）以最短時間過河；
（2）以最小位移過河；
（3）到達正對岸上游100m處．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度的分解，依據(jù)矢量分解法則，即可求解；
（2）當船頭方向與河岸方向垂直時，渡河時間最短，抓住等時性，結合垂直河岸方向的速度和位移求出渡河的時間．
（3）當合速度方向與河岸垂直時，渡河位移最短，根據(jù)平行四邊形定則求出船頭的方向，根據(jù)河寬和合速度的大小求出渡河的時間．

解答 解：（1）以最短時間渡河時，船頭應垂直于河岸航行，即與河岸成90°角．
最短時間為t=$\frac{l}{v}$=$\frac{300}{3}$ s=100 s．
（2）以最小位移過河，船的實際航向應垂直河岸，即船頭應指向上游河岸．
設船頭與上游河岸夾角為θ，有
vcos θ=u，
θ=arccos$\frac{u}{v}$=arccos$\frac{1}{3}$．
sin θ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
渡河時間為t=$\frac{l}{vsinθ}$=$\frac{300}{3×sinθ}$≈106.1 s．
（3）設船頭與上游河岸夾角為α，則有
（vcos α-u）t=x=100m
vtsin α=l=300m
兩式聯(lián)立得：α=53°，t=125 s．
答：（1）船頭垂直過河時，時間最短，最短過河為100 s；
（2）船頭應指向上游河岸夾角的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，過河最小位移，所需要時間為106.1 s；
（3）要使船到達正對岸上游100m處，船頭應與河岸成53°角度，過河時間是125 s．

點評 本題考查了小船渡河問題，知道當船頭的方向與河岸垂直時，渡河時間最短，當合速度方向與河岸垂直時，渡河位移最短．