Question

4．圖（甲）是磁懸浮實(shí)驗(yàn)車與軌道示意圖，圖（乙）是固定在車底部金屬框abcd（車廂與金屬框絕緣）與軌道上運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的示意圖．水平地面上有兩根很長(zhǎng)的平行直導(dǎo)軌PQ和MN，導(dǎo)軌間有豎直（垂直紙面）方向等間距的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B_l和B₂，二者方向相反．車底部金屬框的ad邊寬度與磁場(chǎng)間隔相等，當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B_l和B₂同時(shí)以恒定速度v₀沿導(dǎo)軌方向向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框會(huì)受到磁場(chǎng)力，帶動(dòng)實(shí)驗(yàn)車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．設(shè)金屬框垂直導(dǎo)軌的ab邊長(zhǎng)L=0.20m、總電阻R=l.6Ω，實(shí)驗(yàn)車與線框的總質(zhì)量m=2.0kg，磁場(chǎng)B_l=B₂=1.0T，磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)速度v₀=10m/s．已知懸浮狀態(tài)下，實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動(dòng)時(shí)受到恒定的阻力f=0.20N，求：

（1）設(shè)t=0時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)車的速度為零，求金屬框受到的磁場(chǎng)力的大小和方向；
（2）求實(shí)驗(yàn)車的最大速率v_m；
（3）實(shí)驗(yàn)車以最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，為維持實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動(dòng)，外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量？
（4）假設(shè)兩磁場(chǎng)由靜止開始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)來起動(dòng)實(shí)驗(yàn)車，當(dāng)兩磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=30s時(shí)，實(shí)驗(yàn)車正在向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)實(shí)驗(yàn)車的速度為v=4m/s，求由兩磁場(chǎng)開始運(yùn)動(dòng)到實(shí)驗(yàn)車開始運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t₀．

Answer 1

分析 （1）實(shí)驗(yàn)車的速度為零，線框相對(duì)于磁場(chǎng)的速度大小為v₀，線框中左右兩邊都切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由I=$\frac{E}{R}$、E=2BLv₀、F=2BIL，求出此時(shí)金屬框受到的磁場(chǎng)力的大小F₀，由左手定則判斷出其方向；
（2）實(shí)驗(yàn)車的最大速率為v_m時(shí)相對(duì)磁場(chǎng)的速率為v₀-v_m，此時(shí)線框所受的磁場(chǎng)力與阻力平衡，由平衡條件求解最大速率v_m；
（3）列車水平向右以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于磁場(chǎng)向左運(yùn)動(dòng)，線框所受的安培力與阻力大小相等，根據(jù)受力平衡，求出電流I，再根據(jù)能量守恒定律E=I²R+fv求出單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量．
（4）為實(shí)現(xiàn)列車最終沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場(chǎng)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度相同，t₁時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢(shì) E=2NBL（at₁-v₁），根據(jù)所受的安培力，結(jié)合牛頓第二定律求出列車最終的加速度．
從磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到列車起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，t₀時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢(shì)E₀=2NBLat₀，當(dāng)t₀時(shí)刻時(shí)安培力增大到與阻力相等，根據(jù)安培力等于阻力求出t₀．

解答 解：（1）當(dāng)試驗(yàn)車速度為零時(shí)，線框和磁場(chǎng)的相對(duì)速度最大，此時(shí)實(shí)驗(yàn)車的加速度最大．
此時(shí)線框相對(duì)于磁場(chǎng)的速度大小為v₀
線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁=2BI₁Lv₀
感應(yīng)電流為I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
金屬框受到的磁場(chǎng)力大小為F₁=2BI₁L
根據(jù)牛頓第二定律 F₁-f=ma_m
得a_m=0.4m/s²
根據(jù)楞次定律判斷，磁場(chǎng)力方向水平向右，所以加速度方向向右．
（2）實(shí)驗(yàn)車最大速率為v_m時(shí)相對(duì)磁場(chǎng)的切割速率為v₀-v_m，則此時(shí)線框所受的磁場(chǎng)力大小為 F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-v）}{R}$
此時(shí)線框所受的磁場(chǎng)力與阻力平衡，得：F=f
 v_m=v₀-$\frac{Rf}{4{B}^{2}{L}^{2}}$=（10-$\frac{1.6×0.2}{4×{1}^{2}×0．{2}^{2}}$）m/s=8m/s
（3）克服阻力的功率為
 P₁=fv_m=1.6W                               
當(dāng)實(shí)驗(yàn)車以速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)金屬框中感應(yīng)電流
  I=$\frac{f}{2BL}$=$\frac{0.2}{2×1×0.2}$A=0.5A                  
金屬框中的熱功率為 P₂=I²R=0.4W              
外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量為E=（P₁+P₂）t=2J 
（4）根據(jù)題意分析可得，為實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)車最終沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場(chǎng)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度相同
設(shè)加速度為a，則t時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢(shì)
 E=2BL（at-v）
金屬框中感應(yīng)電流 
  I=$\frac{2BL（at-v）}{R}$                    
又因?yàn)榘才嗔?F=2BIL=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$
所以對(duì)試驗(yàn)車，由牛頓第二定律得
 $\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$-f=ma
得 a=0.6m/s²  
設(shè)從磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到實(shí)驗(yàn)車起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，則t₀時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢(shì)   E₀=2BLat₀
金屬框中感應(yīng)電流 I₀=$\frac{2BLa{t}_{0}}{R}$
又因?yàn)榘才嗔?F₀=2BI₀L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$             
對(duì)實(shí)驗(yàn)車，由牛頓第二定律得：
 F₀=f 
即$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$=f
得：t₀=$\frac{10}{3}$s      
答：（1）設(shè)t=0時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)車的速度為零，金屬框受到的磁場(chǎng)力的大小為1N，方向水平向右；
（2）實(shí)驗(yàn)車的最大速率v_m為8m/s；
（3）實(shí)驗(yàn)車以最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，為維持實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動(dòng)，外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量為2J；     
（4）由兩磁場(chǎng)開始運(yùn)動(dòng)到實(shí)驗(yàn)車開始運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t₀為$\frac{10}{3}$s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵以磁場(chǎng)為參考系，線圈做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而受到安培力，在安培力和阻力的作用下運(yùn)動(dòng)．