Question

19．如圖甲所示，在y≥0的區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面方向的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN為磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界，磁場(chǎng)在x軸方向范圍足夠大．磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化如圖乙所示，取垂直紙面向里為正方向．現(xiàn)有一帶負(fù)電的粒子，質(zhì)量為m=9.6×10^-18kg，電荷量為q=3.2×10^-12C，在t₀時(shí)刻以速度v₀=6.28×10²m/s從O點(diǎn)沿如圖所示方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，已知θ=30°，粒子重力不計(jì)．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期；
（2）若t₀=0，如果t=2×10^-3時(shí)粒子仍在磁場(chǎng)內(nèi)，則此時(shí)它的位置坐標(biāo)；
（3）若t₀=0，粒子垂直于MN離開(kāi)磁場(chǎng)，則磁場(chǎng)上邊界MN與x軸間的距離；
（4）若t₀=0.75×10^-3s，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與它在O點(diǎn)的速度方向相同，則粒子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的半徑公式和周期公式求出半徑的大小和周期的大�。�
（2）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)半徑的大小，結(jié)合幾何關(guān)系求出位置坐標(biāo)．
（3）抓住粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，結(jié)合幾何關(guān)系，求出磁場(chǎng)上邊界MN與x軸間的距離的通項(xiàng)表達(dá)式．
（4）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合磁場(chǎng)變化的周期性，通過(guò)周期公式，抓住粒子在a、b、c等位置離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與它在O點(diǎn)的速度方向相同進(jìn)行求解．

解答 解：（1）洛倫茲力提供向心力，有：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$
得：$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}=0.6m$，
$T=\frac{2πR}{v_0}=6×{10^{-3}}s$
（2）粒子在t₀=0s時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)，在t=1×10^-3s時(shí)，粒子y₀=2Rcos60°=R；t=2×10^-3s時(shí)，粒子y=2y₀=2R=1.2m．
則它的位置坐標(biāo)為（0，1.2m）
（3）粒子在t₀=0s時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，要粒子垂直于MN離開(kāi)磁場(chǎng)，可能從A、B等位置離開(kāi)磁場(chǎng)，則磁場(chǎng)上邊界MN與x軸間的距離：
$d=\frac{2n+1}{2}R=0.3（2n+1）$m      （n=0、1、2、3…） 
（4）由圖乙可知磁場(chǎng)的變化周期為：
${T_0}=2×{10^{-3}}s$；
$α=\frac{{\frac{T_0}{2}-{t_0}}}{T_0}×\frac{2π}{3}=\frac{π}{12}$，
$β=\frac{1}{3}π-α=\frac{π}{4}$．
粒子在a、b、c等位置離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與它在O點(diǎn)的速度方向相同，若粒子在a、c等位置離開(kāi)磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
$t=\frac{{\frac{2}{3}nπ+\frac{1}{6}π}}{2π}T=（2n+0.5）×{10^{-3}}s$（n=0、1、2、3…）  
若粒子在b等位置離開(kāi)磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
$t=\frac{{\frac{2}{3}nπ}}{2π}T=2n×{10^{-3}}s$（n=1、2、3…）  
綜上所述：若t₀=0.75×10^-3s，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與它在O點(diǎn)的速度方向相同，則粒子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間為：
t=（2n+0.5）×10^-3s（n=0、1、2、3…） 或2n×10^-3s（n=1、2、3…）
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為0.6m；周期為6×10^-3s．
（2）此時(shí)它的位置坐標(biāo)為（0，1.2m）
（3）磁場(chǎng)上邊界MN與x軸間的距離為0.3（2n+1）m，（n=0、1、2、3…）
（4）粒子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間為t=（2n+0.5）×10^-3s（n=0、1、2、3…） 或2n×10^-3s（n=1、2、3…）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在交變磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合半徑公式和周期進(jìn)行求解，對(duì)于（3）（4）兩問(wèn)，難度較大，要注意粒子運(yùn)動(dòng)的周期性．