Question

16．如圖為類似于洛倫茲力演示儀的結(jié)構(gòu)簡圖，勵磁線圈通入電流I，可以產(chǎn)生方向垂直于線圈平面的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B=kI（k=0.01T/A），勻強(qiáng)磁場內(nèi)部有半徑R=0.2m的球形玻璃泡，在玻璃泡底部有一個可以升降的粒子槍，可發(fā)射比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg的帶正電的粒子束，粒子加速前速度視為零，經(jīng)過電壓U（U可調(diào)節(jié)，且加速間距很�。┘铀俸�，沿水平方向從玻璃泡圓心的正下方垂直磁場方向射入，粒子束距離玻璃泡底部邊緣的高度h=0.04m，不計粒子間的相互作用與粒子重力，則：
（1）當(dāng)加速電壓U=220V，勵磁線圈電流強(qiáng)度I=1A（方向如圖）時，求帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（2）若仍保持勵磁線圈中電流強(qiáng)度I=1A（方向如圖），為了防止粒子打到玻璃泡上，加速電壓U應(yīng)該滿足什么條件；
（3）調(diào)節(jié)加速電壓U，保持勵磁線圈中電流強(qiáng)度I=1A，方向與圖中電流方向相反，忽略粒子束寬度，粒子恰好垂直打到玻璃泡的邊緣上，并以原速率反彈（碰撞時間不計），且剛好回到發(fā)射點，則當(dāng)高度h為多大時，粒子回到發(fā)射點的時間間隔最短，并求出這個最短時間．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動能定理，由加速電壓得到粒子運動速度；當(dāng)勵磁線圈通往電流I=1A時，先求出線圈中平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，由洛侖茲力提供向心力從而求得粒子做勻速圓周運動的軌道半徑；
（2）由幾何關(guān)系求得粒子做圓周運動的半徑條件，再聯(lián)立（1）得到的半徑表達(dá)式求得加速電壓的條件；
（3）由粒子碰撞條件得到粒子運動情況及與玻璃泡的碰撞次數(shù)，然后根據(jù)幾何關(guān)系求出對應(yīng)的粒子運動半徑即發(fā)射點高度，進(jìn)而求得粒子運動時間．

解答 解：（1）帶電粒子經(jīng)過加速電場加速，得到速度v，所以，由動能定理可得：$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
可解得：$v=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$；
勵磁線圈中電流為：I=1A時，
線圈平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B=kI=0.01T．
在線圈平面的磁場中，帶電粒子所受洛倫茲力作為向心力，則有：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$；
所以有：$r=\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$=$\frac{1}{0.01}\sqrt{\frac{2×200}{1{0}^{8}}}m$=0.2m；
（2）如圖所示電流方向，線圈平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里；粒子做圓周運動的圓心在玻璃泡圓心所在豎直方向上，
為了使粒子不打到玻璃泡上，由幾何關(guān)系知道：粒子做勻速圓周運動的半徑r′與玻璃泡的半徑應(yīng)滿足h+2r′＜2R，
所以，${r}^{'}＜R-\frac{1}{2}h=0.18m$，
又同（1）所似，有$\left\{\begin{array}{l}{{U}^{'}q=\frac{1}{2}m{{v}^{'}}^{2}}\\{B{v}^{'}q=m\frac{{{v}^{'}}^{2}}{{r}^{'}}}\end{array}\right.$，所以，${U}^{'}=\frac{m}{2q}{v}^{'2}=\frac{m}{2q}（\frac{Bq{r}^{'}}{m}）^{2}=\frac{{B}^{2}q}{2m}{r}^{'2}$$＜\frac{0.0{1}^{2}×1{0}^{8}}{2}×0.1{8}^{2}V=162V$；
（3）粒子運動軌跡如圖所示，則若粒子與玻璃泡碰撞n次后回到發(fā)射點，則每次碰撞粒子做圓周運動轉(zhuǎn)過圓心角$π-\frac{2π}{n}$，
粒子做圓周運動的周期為T，則，粒子回到發(fā)射點的時間間隔$t=\frac{n×（π-\frac{2π}{n}）}{2π}T=（\frac{n}{2}-1）T$；
洛倫茲力做向心力，則有：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$；所以，$v=\frac{Bqr}{m}$；
所以，周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$；
因為n＞2，所以，當(dāng)n=3時，粒子回到發(fā)射點的時間間隔最短，$t=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{Bq}$，此時有：$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{π}{3}=\frac{r}{R}}\\{cos\frac{π}{3}=\frac{R}{R+r-h}}\end{array}\right.$，所以，$\left\{\begin{array}{l}{r=\sqrt{3}R}\\{h=（\sqrt{3}-1）R}\end{array}\right.$．
答：（1）當(dāng)加速電壓U=220V，勵磁線圈電流強(qiáng)度I=1A時，帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑為0.2m；
（2）若仍保持勵磁線圈中電流強(qiáng)度I=1A（方向如圖），為了防止粒子打到玻璃泡上，加速電壓U應(yīng)該小于162V；
（3）調(diào)節(jié)加速電壓U，保持勵磁線圈中電流強(qiáng)度I=1A，方向與圖中電流方向相反，忽略粒子束寬度，粒子恰好垂直打到玻璃泡的邊緣上，并以原速率反彈（碰撞時間不計），且剛好回到發(fā)射點，則當(dāng)高度h為$（\sqrt{3}-1）R$時，粒子回到發(fā)射點的時間間隔最短，這個最短時間為$\frac{πm}{Bq}$．

點評 粒子在磁場中的運動問題，要充分利用角度關(guān)系、對稱關(guān)系等幾何關(guān)系，最好畫圖解析，使得關(guān)系更清晰、明確．