Question

如圖1所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長(zhǎng)L=1m，B點(diǎn)距C 點(diǎn)的水平和豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=

3

5

，cos37°=

4

5

）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω2=

50 3

rad/s，求細(xì)線AC與豎直方向的夾角；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過計(jì)算在坐標(biāo)圖2中畫出細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象．（計(jì)算過程可在草稿紙上完成）

Answer 1

分析：（1）細(xì)線AB上張力恰為零時(shí)小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）ω2=

50 3

rad/s＞ω1=

50 4

rad/s時(shí)，細(xì)線AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出細(xì)線AC與豎直方向的夾角．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時(shí)、ω₁≤ω≤ω₂時(shí)、ω＞ω₂時(shí)拉力的大小，從而確定細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答：解（1）細(xì)線AB上張力恰為零時(shí)有mgtan37°=m

ω

2 1

lsin37°
解得    ω1=

g lcos37°

=

50 4

rad/s=

5

2

2

rad/s
（2）ω2=

50 3

rad/s＞ω1=

50 4

rad/s時(shí)，細(xì)線AB應(yīng)松弛mgtanθ′=m

ω

2 2

lsinθ′
解得     cosθ′=

3

5

θ'=53°此時(shí)細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零．
（3）ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時(shí)，細(xì)線AB水平，細(xì)線AC上張力的豎直分量等于小球的重力Tcosθ=mg
T=

mg

cosθ

=12.5N
ω₁≤ω≤ω₂時(shí)細(xì)線AB松弛
細(xì)線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力Tsinθ=mω²lsinθ      T=mω²l
ω＞ω₂時(shí)，細(xì)線AB在豎直方向繃直，仍然由細(xì)線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力
    Tsinθ=mω²lsinθ     T=mω²l
綜上所述 ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時(shí)，T=12.5N不變
ω＞ω₁時(shí)，T=mω²l=ω²（N）T-ω²關(guān)系圖象如圖所示．
答：（1）角速度ω₁的大小為

5 2

2

rad/s．
（2）細(xì)線AC與豎直方向的夾角為53°．
（3）細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源，確定小球運(yùn)動(dòng)過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．