Question

2．如圖所示，兩光滑圓軌道的半徑R₁=25cm，R₂=50cm．質(zhì)量為250g的小球從h=70cm高處無摩擦地滾下．求：
①小球通過A、B、C三點(diǎn)時，小球?qū)�軌道的壓力�?br />②要使小球能順利通過A、B、C三點(diǎn)，則h的取值范圍．

Answer 1

分析 ①小球在運(yùn)動過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可求出小球到達(dá)A、B、C三點(diǎn)時的速度，再由牛頓第二、第三定律結(jié)合求解小球通過A、B、C三點(diǎn)時，小球?qū)�軌道的壓力�?br />②要使小球能順利通過B、C兩點(diǎn)，在B、C兩點(diǎn)小球所需要的向心力必須大于等于重力，由此分析求解h的取值范圍．

解答 解：①根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv_A²；
mg（h-2R₁）=$\frac{1}{2}$mv_B²；
mg（h-R₂）=$\frac{1}{2}$mv_C²；
根據(jù)牛頓第二定律得：
在A點(diǎn)有：N_A-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{{R}_{1}}$
在B點(diǎn)有：N_B+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{1}}$
在C點(diǎn)有：mg-N_C=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{{R}_{2}}$
聯(lián)立解得：N_A=16.5N，N_B=1.5N，N_C=0.5N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球通過A、B、C三點(diǎn)時，小球?qū)�軌道的壓力分別為16.5N，1.5N，0.5N．
②設(shè)要使小球能順利通過B、C兩點(diǎn)時必須滿足：
m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{1}}$≥mg
m$\frac{{v}_{C}^{2}}{{R}_{2}}$≤mg
結(jié)合mg（h-2R₁）=$\frac{1}{2}$mv_B²；解得：h≥2.5R₁=62.5cm
結(jié)合mg（h-R₂）=$\frac{1}{2}$mv_C²；解得：h≤2.5R₂=175cm
則滿足要求的h的取值范圍為：62.5cm≤h≤175cm
答：①小球通過A、B、C三點(diǎn)時，小球?qū)�軌道的壓力分別為16.5N，1.5N，0.5N．
②要使小球能順利通過A、B、C三點(diǎn)，則h的取值范圍為 62.5cm≤h≤175cm．

點(diǎn)評 本題考查機(jī)械能守恒定律及向心力公式的綜合應(yīng)用，要知道只有重力做功時，物體的機(jī)械能守恒．小球通過豎直平面內(nèi)光滑圓周的最高點(diǎn)時必須滿足一定條件，把握臨界條件是關(guān)鍵．