Question

19．細(xì)繩一端固定，另一端系一小球，小球質(zhì)量為0.1kg，繩長1m，g=10m/s²，繩子能承受的最大拉力為11N，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球通過最高點(diǎn)的速度v₁、通過最低點(diǎn)的速度v₂應(yīng)分別滿足什么條件？答：v₁應(yīng)$2\sqrt{15}$m/s≥v₁$≥\sqrt{10}m/s$、v₂應(yīng)5$\sqrt{2}$m/s≤v₂≤10m/s．

Answer 1

分析 在最低點(diǎn)，由于細(xì)線拉力有最大值，根據(jù)牛頓第二定律列式得到最大速度，結(jié)合動(dòng)能定理列式得到最高點(diǎn)的最大速度；在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律列式得到最小速度，再結(jié)合動(dòng)能定理列式得到最低點(diǎn)的最小速度．

解答 解：先考慮最大速度：
在最低點(diǎn)，由于細(xì)線拉力最大為11N，重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$T-mg=m\frac{{v}_{2max}^{2}}{l}$
解得：
v_2max=10m/s
根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mg（2l）=$\frac{1}{2}m{v}_{2max}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1max}^{2}$
解得：
v_1max=$\sqrt{{v}_{2max}^{2}-4gl}=\sqrt{100-4×10×1}=2\sqrt{15}m/s$
再考慮最小速度：
最高點(diǎn)的最小速度：${v}_{1min}=\sqrt{gl}=\sqrt{10×1}=\sqrt{10}m/s$
根據(jù)動(dòng)能定理，有：mg（2l）=$\frac{1}{2}m{v}_{2min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1min}^{2}$
解得：${v}_{2min}=\sqrt{{v}_{1min}^{2}+4gl}=\sqrt{10+4×10×1}=5\sqrt{2}m/s$
故$2\sqrt{15}$m/s≥v₁$≥\sqrt{10}m/s$，5$\sqrt{2}$m/s≤v₂≤10m/s
故答案為：故$2\sqrt{15}$m/s≥v₁$≥\sqrt{10}m/s$，5$\sqrt{2}$m/s≤v₂≤10m/s

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，找到向心力來源，然后結(jié)合牛頓第二定律列式求解，不難．