Question

12．一湖面上有一伸向水面的混凝土觀景臺(tái)，如圖所示是一截面圖，觀景臺(tái)下表面恰好和水面相平，A為觀景臺(tái)右側(cè)在湖底的投影，水深h=4m．在距觀景臺(tái)右側(cè)面x=4m處有一可沿豎直方向上下移動(dòng)的單色點(diǎn)光源S，點(diǎn)光源S可從距水面高3m處下移到接近水面，在移動(dòng)過(guò)程中，觀景臺(tái)水下被照亮的最遠(yuǎn)距離為AC，最近距離為AB，若AB=3m，求：
（i）水的折射率n；
（ii）光能照亮的最遠(yuǎn)距離AC（計(jì)算結(jié)果可以保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （i）據(jù)題，觀景臺(tái)水下被照亮的最近距離為AB，光線在水面發(fā)生了折射，由數(shù)學(xué)知識(shí)求入射角與折射角的正弦值，即可求得折射率．
（ii）點(diǎn)光源S接近水面時(shí)，入射角為90°，光能照亮的距離最遠(yuǎn)，由折射定律求出折射角，即可由幾何知識(shí)求解最遠(yuǎn)距離AC．

解答 解：（i）點(diǎn)光源S在距水面高3m處發(fā)出的光在觀景臺(tái)右側(cè)面與水面交接處折射到水里時(shí)，被照亮的距離為最近距離AB，則：
由于n=$\frac{sini}{sinr}$                        
所以：水的折射率 n=$\frac{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}}}{\frac{AB}{\sqrt{A{B}^{2}+{h}^{2}}}}$=$\frac{4}{3}$
②點(diǎn)光源S接近水面時(shí)，光在觀景臺(tái)右側(cè)面與水面交接處掠射到水里時(shí)，被照亮的距離為最遠(yuǎn)距離AC，此時(shí)，入射角為90°，折射角為臨界角C，
則：n=$\frac{1}{sinC}$=$\frac{\sqrt{A{C}^{2}+{h}^{2}}}{AC}$=$\frac{4}{3}$
解得：AC=$\frac{12}{7}\sqrt{7}$≈4.5m            
答：
（�。┧�的折射率n為$\frac{4}{3}$；
（ⅱ）光能照亮的最遠(yuǎn)距離AC為4.5m

點(diǎn)評(píng) 本題以折射率和全反射為命題背景考查學(xué)生的推理能力和分析綜合能力，關(guān)鍵能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解入射角和折射角的正弦值，知道入射角最大時(shí)折射角也最大．