Question

如圖所示，第一象限內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域上邊界剛好與直線y=6

3

cm重合，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T．一個(gè)帶正電的離子在坐標(biāo)（6

3

cm，0）的A點(diǎn)以某一速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正向夾角為30°，離子質(zhì)量為m=10^-16kg，帶電量為q=10^-10C．不計(jì)離子重力．
（1）若離子離開磁場(chǎng)時(shí)位置坐標(biāo)為（6

3

cm，6

3

cm）的C點(diǎn)，求離子運(yùn)動(dòng)的速度大�。�
（2）當(dāng)離子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v=10⁴m/s，求離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，先畫出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律，即可求解離子運(yùn)動(dòng)的速度大小；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出離子的軌跡半徑，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系確定出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）離子從c點(diǎn)離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，設(shè)離子的軌跡半徑為r．
由幾何關(guān)系：rsin60°=

a

2

得軌跡半徑為：r=

3

3

a
又離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則得：
  qvB=m

v 2 0

r

得：
 v₀=

qBr

m

=

3 qBa

3m

=

3

3

×

10-10×0.5×6 3 ×10-2

10-16

m/s=3×10⁴m/s
（2）當(dāng)離子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v=10⁴m/s，軌跡半徑為：R=

mv

qB

=

10-16×104

10-10×0.5

m=0.02m=2cm
設(shè)離子的軌跡恰好與ac直線相切時(shí)，如圖2所示，軌跡半徑為r₀．
根據(jù)幾何知識(shí)有：r₀+r₀cos30°=a=6

3

cm
解得，r₀=5.568cm
因?yàn)镽＜r₀，所以離子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖3所示，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為：θ=300°
故離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是：t=

θ

360°

T=

300°

360°

×

2πm

qB

=

5

6

×

2×3.14×10-16

10-10×0.5

s≈1.05×10^-5s
答：
（1）若離子離開磁場(chǎng)時(shí)位置坐標(biāo)為（6

3

cm，6

3

cm）的C點(diǎn)，離子運(yùn)動(dòng)的速度大小是3×10⁴m/s．
（2）當(dāng)離子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v=10⁴m/s，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間約是1.05×10^-5s．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題，掌握洛倫茲力與向心力的表達(dá)式，理解牛頓第二定律與幾何關(guān)系的應(yīng)用，注意畫出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，是解題的關(guān)鍵．