Question

8．直角三角形0MN，∠N=30°，0M=L．在三角形區(qū)域內(nèi)（含邊界）有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在t=0時(shí)刻，同時(shí)從角形的0M邊各處以沿y軸正向的相同速度，將質(zhì)量均為m，電荷量均為q的大量帶正電粒子射入磁場(chǎng)，已知在t=t₀時(shí)刻從0N邊某處射出磁場(chǎng)的粒子，其射出時(shí)速度方向與射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向間的夾角為60°．不計(jì)粒子重力、空氣阻力及粒子間相互作用．
（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）若從0M邊兩個(gè)不同位置射入磁場(chǎng)的粒子，從0N邊上的同一點(diǎn)P（圖中未標(biāo)出）射出磁場(chǎng)，這兩個(gè)粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的時(shí)間間隔與P點(diǎn)位置有關(guān)．若該時(shí)間間隔最大值為2t₀，求兩個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的位置之間的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意求出粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，然后根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)題意應(yīng)用幾何知識(shí)求出粒子軌道半徑，然后求出兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)位置間的距離．

解答 解：（1）射出時(shí)速度方向與射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向間的夾角為60°，則粒子在t₀時(shí)間內(nèi)，速度方向改變了60°，
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為60°，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₀=$\frac{60°}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=6t₀，
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，則：B=$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）在同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)的兩粒子軌跡如圖所示，軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關(guān)系有：θ₁=180°-θ₂，
由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，△θ=θ₂-θ₁=180°-2θ₁，
粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差：△t=$\frac{△θ}{360°}$T，則θ₁越小，△θ越大，時(shí)間差△t越大，
由題時(shí)間間隔最大值為：△t_max=2t₀，已知：T=6t₀ ，θ₁的最小值為：θ_1min=30°，θ₂的最大值：θ_2max=150°，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子軌跡如圖，由幾何關(guān)系有：α=180°-θ_2max=30°，
已知：∠N=30°，則∠M=60°，β=90°-∠M=30°，α=θ_1min=30°，
由幾何知識(shí)得：Rcosα+$\frac{R}{cosβ}$=L，解得：R=$\frac{2\sqrt{3}L}{7}$，
兩粒子射入磁場(chǎng)位置間的距離：d=（L-R-Rcosα）-（R-Rcosθ_1min）=$\frac{7-4\sqrt{3}}{7}$L；
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）兩個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的位置之間的距離為$\frac{7-4\sqrt{3}}{7}$L．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類型，要能作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，善于運(yùn)用幾何知識(shí)幫助分析和求解，這是軌跡問(wèn)題的解題關(guān)鍵．