Question

（2012?通州區(qū)模擬）天體的質(zhì)量大都是“天文數(shù)字”，是無法進(jìn)行稱量的．但是物理學(xué)家依據(jù)物理規(guī)律，用一支筆、一張紙就可以計(jì)算出遙遠(yuǎn)而巨大的天體質(zhì)量，你不覺得物理很神奇嗎？現(xiàn)在給出以下數(shù)據(jù)：

萬有引力常量G

地球的半徑R，地球表面的重力加速度g，地球的自轉(zhuǎn)周期T0

第一宇宙速度v

地球同步衛(wèi)星，距離地面的高度為H

繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造地球衛(wèi)星，到地球表面的高度為h1，運(yùn)行周期為T1

月球到地面的距離h2，月球的公轉(zhuǎn)周期T2

地心到太陽中心的距離r，地球的公轉(zhuǎn)周期T

請你在以上所給的已知數(shù)據(jù)中，任意選擇合適的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ停�用你手中的筆和紙，計(jì)算出地球的質(zhì)量，寫出地球質(zhì)量的表達(dá)式．
要求至少寫出兩種方法．

Answer 1

分析：這是一個(gè)開放性試題，根據(jù)題中所給條件，有多種方法可以計(jì)算出地球質(zhì)量．一類方法是利用地球表面重力等于萬有引力；第二類方法是衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．

解答：解：方法一：利用地球半徑R和地球表面的重力加速度g計(jì)算．設(shè)地球質(zhì)量為M，不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，地面上物體所受重力就是萬有引力：mg=G

mM

R2

，則：M=

gR2

G

；
方法二：利用第一宇宙速度v和地球的半徑R計(jì)算．人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運(yùn)行時(shí)，軌道半徑是R，向心力是萬有引力：G

mM

R2

=m

v2

R

，則：M=

Rv2

G

；
方法三：利用繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造地球衛(wèi)星計(jì)算．衛(wèi)星到地球表面的高度為h₁，運(yùn)行周期為T₁；人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行時(shí)，向心力是萬有引力：G

mM

(R+h1)2

=m(

2π

T 2 1

)2(R+h1)，則：M=

4π2(R+h1)3

GT12

；
方法四：利用地球同步衛(wèi)星．同步衛(wèi)星距離地面的高度為H，運(yùn)行周期與地球的自轉(zhuǎn)周期T₀相同，同步衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力是萬有引力：G

mM

(R+H)2

=m(

2π

T 2 0

)2(R+H)，則：M=

4π2(R+H)3

GT02

；
方法五：利用月球計(jì)算．月球到地面的距離h₂，月球的公轉(zhuǎn)周期T₂；月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力是萬有引力：G

mM

(R+h2)2

=m(

2π

T 2 2

)2(R+h2)，則：M=

4π2(R+h2)3

GT22

；
答：方法如上．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵明確衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；也可以利用重力加速度的表達(dá)式進(jìn)行測量．