Question

13．在坐標(biāo)系xOy平面的第一象限內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B₀，方向垂直于xOy平面，且隨時(shí)間作周期性變化，如圖所示，規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的正粒子，在t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向射入，不計(jì)重力的影響，經(jīng)過一個(gè)磁場(chǎng)變化周期T（未知）的時(shí)間，粒子到達(dá)第I象限內(nèi)的某點(diǎn)P，且速度方向仍與x軸正方向平行同向，則．
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是多大？
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場(chǎng)變化的周期T為多大？
（3）因P點(diǎn)的位置隨著磁場(chǎng)周期的變化而變化，試求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑．
（2）求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)過程求出磁場(chǎng)的周期．
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)粒子軌道半徑，應(yīng)用幾何知識(shí)求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₀=$\frac{2πm}{qB}$，
O、P連線與x軸之間的夾角為45°，由對(duì)稱性可知，粒子經(jīng)過兩個(gè)$\frac{1}{4}$圓周到達(dá)P點(diǎn)，則磁場(chǎng)的周期：T=$\frac{1}{2}$T₀=$\frac{πm}{qB}$；
（3）設(shè)兩圓弧的圓心O₁O₂連線與y軸夾角為θ，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，圓心O₂到y(tǒng)軸之間的距離為x，由幾何關(guān)系可得：
y=2r+2rcosθ，sinθ=$\frac{x}{2r}$，
要保證粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，需滿足：x≥r，
當(dāng)θ=30°時(shí)，y最大，y_最大=（2+$\sqrt{3}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場(chǎng)變化的周期T為$\frac{πm}{qB}$；
（3）因P點(diǎn)的位置隨著磁場(chǎng)周期的變化而變化，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為（2+$\sqrt{3}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題．