Question

14．如圖所示，平行光滑金屬軌道由兩段$\frac{1}{4}$圓弧和一段足夠長(zhǎng)的水平軌道組成．軌道相距L，水平軌道處在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．左側(cè)$\frac{1}{4}$圓弧軌道半徑為R．最高處有一質(zhì)量為M、電阻為R的金屬棒；右側(cè)$\frac{1}{4}$圓弧軌道半徑為r．最高處有一質(zhì)量為m，電阻為r₀的金屬棒，已知R＞r．軌道電阻計(jì)，現(xiàn)釋放左右兩金屬棒，使兩金屬棒同時(shí)進(jìn)入水平軌道的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，最后兩金屬棒以相同大小的速度v勻速運(yùn)動(dòng)，求：

（1）金屬棒剛進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，金屬棒中的電流大�。�
（2）從金屬棒被釋放到以相同大小的速度v運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在圓弧軌道上下滑時(shí)只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出兩金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．進(jìn)入磁場(chǎng)后，兩棒都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv求出總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再由閉合電路歐姆定律求電流．
（2）由系統(tǒng)的能量守恒求熱量．

解答 解：（1）對(duì)金屬棒M，在圓弧軌道上下滑的過程，由機(jī)械能守恒定律得：MgR=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
得M棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為：v₁=$\sqrt{2gR}$
同理，可得m棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為：v₂=$\sqrt{2gr}$
金屬棒剛進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，回路中產(chǎn)生的總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BL（v₁-v₂）
則金屬棒中的電流大小為：I=$\frac{E}{R+{r}_{0}}$=$\frac{BL（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R+{r}_{0}}$
（2）對(duì)兩棒組成的系統(tǒng)，對(duì)兩個(gè)過程，由能量守恒定律得：MgR+mgr=Q+$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得產(chǎn)生的熱量為：Q=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$-MgR-mgr
答：（1）金屬棒剛進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，金屬棒中的電流大小為$\frac{BL（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R+{r}_{0}}$；
（2）從金屬棒被釋放到以相同大小的速度v運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$-MgR-mgr．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿問題，關(guān)鍵要知道兩棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反，存在反電動(dòng)勢(shì)，總的電動(dòng)勢(shì)等于兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)之差．