Question

“嫦娥一號(hào)”正在探測(cè)月球，若把月球和地球都視為質(zhì)量均勻的球體，已知地球和月球的半徑之比

r1

r2

=

1

3.6

6，月球表面和地球表面的重力加速度之比

g1

g2

=

1

6

，求：
（1）月球和地球的密度之比

ρ1

ρ2

（保留兩位有效數(shù)字）
（2）若取月球半徑r₁=1.7×10³km，月球表面處重力加速度g₁=1.6m/s²，設(shè)想今后開發(fā)月球的需要而設(shè)法使月球表面覆蓋一層一定厚度的大氣層，使月球表面附近的大氣壓也等于p₀=1.0×10⁵Pa，且大氣層厚度比月球半徑小得多，試估算應(yīng)給月球表面添加的大氣層的總質(zhì)量M．（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)物體的重力約等于其萬有引力，可得到月球與地球的質(zhì)量之比，再質(zhì)量與體積之比求出密度之比．
（2）大氣層厚度比月球半徑小得多，可認(rèn)為大氣緊貼月球表面，大氣層穩(wěn)定時(shí)，大氣壓強(qiáng)從宏觀上看等于大氣重力在單位月球表面的壓力．

解答：解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M₁，地球質(zhì)量為M₂，則質(zhì)量為m的物體分別在月球和地球表面時(shí)的重力與萬有引力相等，有：
   G

M1m

r 2 1

=mg₁
   G

M2m

r 2 2

=mg₂
又由于M₁=ρ₁

4

3

π

r

3 1

，M₂=ρ2

4

3

π

r

3 2

由以上各式解得：

ρ1

ρ2

=

g1r2

g2r1

=

1×3.6

6×1

=0.6
（2）月球表面大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的向上的壓力與大氣層的重力使大氣層平衡，則：
  Mg₁=p₀?4π

r

2 1

解得：M=

p04π r 3 1

g1

代入解得，M=2.3×10¹⁸kg
答：
（1）月球和地球的密度之比

ρ1

ρ2

為0.6．
（2）月球表面大氣層的總質(zhì)量M是2.3×10¹⁸kg．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)天體的半徑和表面重力加速度，根據(jù)重力等于萬有引力，求天體的質(zhì)量是基本題型．