Question

11．如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的直角金屬導(dǎo)軌平行正對(duì)放置，它們各有一邊在同一水平面內(nèi)，另一邊垂直于水平面．金屬細(xì)桿ab、cd質(zhì)量均為m，接入電路的電阻均為R，分別與水平和豎直導(dǎo)軌垂直接觸，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．現(xiàn)對(duì)ab桿施加一水平向右的恒力使其由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)由靜止釋放cd桿，當(dāng)ab桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd桿以$\frac{g}{2}$的加速度向下勻加速運(yùn)動(dòng)．已知導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，ab桿光滑，cd桿與豎直導(dǎo)軌之間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，ab桿由靜止開始到剛達(dá)到勻速狀態(tài)通過(guò)它的電量為q．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中桿與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，重力加速度為g．求：
（1）cd桿勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中通過(guò)它的電流大��；
（2）ab桿由靜止開始到剛達(dá)到勻速狀態(tài)發(fā)生的位移大��；
（3）ab桿由靜止開始到剛達(dá)到勻速狀態(tài)，ab桿上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）取cd桿為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合安培力的計(jì)算公式求解電流強(qiáng)度；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律得到電荷量的表達(dá)式，由此求解位移大��；
（3）以ab桿為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)能定理求解ab桿上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）取cd桿為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-f=m$\frac{g}{2}$
其中f=μBIL
解得：I=$\frac{mg}{2μBL}$；
（2）設(shè)ab桿由靜止開始到剛達(dá)到勻速狀態(tài)發(fā)生的位移為x，則有：q=$\overline{I}$t
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得：$\overline{E}$=$\frac{BLx}{t}$
聯(lián)立解得：x=$\frac{2qR}{BL}$；
（3）設(shè)ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v，則有：E=BLv
其中I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{mg}{2μBL}$
解得：v=$\frac{mgR}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$
設(shè)ab桿由靜止開始到剛達(dá)到勻速狀態(tài)，電路中產(chǎn)生焦耳熱為Q，ab桿上產(chǎn)生的焦耳熱為Q_ab，ab桿所受外力為F=BIL
此過(guò)程中cd桿克服摩擦力做的功為W，則有：Fx-W_克=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
其中W_克=2Q，
解得：Q=$\frac{mgqR}{2μBL}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{μ}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1）cd桿勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中通過(guò)它的電流大小為$\frac{mg}{2μBL}$；
（2）ab桿由靜止開始到剛達(dá)到勻速狀態(tài)發(fā)生的位移大小$\frac{2qR}{BL}$；
（3）ab桿由靜止開始到剛達(dá)到勻速狀態(tài)，ab桿上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{mgqR}{2μBL}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{μ}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．