Question

7．已知兩個質量分布均勻的星球半徑之比為2：1，第一宇宙速度之比為1：2，則下列有關這兩個星球的說法中正確的是（　　）

• A． 兩星球密度之比是1：8
• B． 兩星球質量之比是1：2
• C． 兩星球表面的重力加速度之比是1：4
• D． 分別繞兩星球表面附近的衛(wèi)星繞行一周所用時間之比是2：1

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表達式，結合質量與密度的關系，根據星球的半徑之比、第一宇宙速度之比求出密度之比．
根據第一宇宙速度與天體質量的關系，結合第一宇宙速度之比、半徑之比求出兩星球的質量之比．
根據萬有引力等于重力得出重力加速度的表達式，結合質量之比和半徑之比求出星球表面的重力加速度之比．
根據萬有引力提供向心力得出周期的表達式，結合質量之比和半徑之比求出繞兩星球表面附近的衛(wèi)星繞行一周所用時間之比．

解答 解：A、根據$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{Gρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{R}}=\sqrt{\frac{4}{3}πGρ}R$，因為兩星球的半徑之比為2：1，第一宇宙速度之比為1：2，則兩星球的密度之比為1：16，故A錯誤．
B、由v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$得，星球的質量M=$\frac{{v}^{2}R}{G}$，因為星球的半徑之比為2：1，第一宇宙速度之比為1：2，則兩星球質量之比1：2，故B正確．
C、根據$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因為質量之比為1：2，半徑之比為2：1，則星球表面的重力加速度之比為1：8，故C錯誤．
D、根據$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，因為兩星球質量之比為1：2，半徑之比為2：1，則周期之比為4：1，故D錯誤．
故選：B．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．