Question

如圖所示，在OPNM區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠QOP=60°．離子源中帶電量為+q，質(zhì)量為m的離子（離子初速度可忽略不計(jì)）經(jīng)電場(chǎng)AB加速后以一定速度從O點(diǎn)處垂直QN進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)離子的重力．
（1）當(dāng)加速電壓U=U₀，求離子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r．
（2）已知P點(diǎn)到O點(diǎn)距離為L(zhǎng)，若要離子恰好從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)，加速電壓U多大？
（3）若離子恰好從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)，求該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）離子在電場(chǎng)中加速時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求解獲得的速度．離子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力，離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求解離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R₀．
（2）OP是一條直線，離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度與OP的夾角為30°，由幾何知識(shí)分析求得粒子的軌跡半徑R，根據(jù)動(dòng)能定理求解加速電壓．
（3）由幾何關(guān)系求出軌跡所對(duì)的圓心角，得到時(shí)間與周期的關(guān)系，求出時(shí)間．

解答：解：（1）離子在電場(chǎng)中加速時(shí)，到達(dá)O點(diǎn)的速度為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理得 U0q=

1

2

m

v

2 0

-0①
離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛侖茲力提供向心力，得  qv0B=m

v 2 0

r

②
由①②解得：r=

1

B

2U0m q

③
（2）離子恰好經(jīng)過P點(diǎn)離開磁場(chǎng)，
由幾何關(guān)系可得R=L    ④
離子在電場(chǎng)中加速時(shí)，到達(dá)O點(diǎn)的速度為v，
根據(jù)動(dòng)能定理得  Uq=

1

2

m

v

2

-0⑤
離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛侖茲力提供向心力qvB=m

v 2

R

⑥
由④⑤⑥解得：U=

B2L2q

2m

⑦
（3）由幾何關(guān)系可知，

.

PO

對(duì)應(yīng)的圓心角為60°
若離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為T，
該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=

1

6

T=

1

6

×

2πR

v

⑧
由⑥⑧解得：t=

πm

3qB

 ⑨
或：若離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為T，有洛侖茲力提供向心力有  qvB=m(

2π

T

)2R⑧
由幾何關(guān)系可知，

.

PO

對(duì)應(yīng)的圓心角為60°
離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

1

6

T（1分） ⑨
解得：t=

πm

3qB

答：
（1）當(dāng)加速電壓U=U₀，求離子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r為

1

B

2U0m q

．
（2）已知P點(diǎn)到O點(diǎn)距離為L(zhǎng)，若要離子恰好從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)，加速電壓U為

B2L2q

2m

．
（3）若離子恰好從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)，該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

πm

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問題重點(diǎn)是要找出半徑，然后通過合理的作圖畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，基本就可以解決問題了，磁場(chǎng)中的軌跡問題是高考特別喜歡考查的內(nèi)容，而且都是出大題，應(yīng)該多做訓(xùn)練．