Question

5．如圖所示，P是水平面上的圓弧凹槽．從高臺邊B點以速度v₀水平飛出的小球，恰能從固定在某位置的凹槽的圓弧軌道的左端A沿圓弧切線方向進入軌道．O是圓弧的圓心，θ₁是OA與豎直方向的夾角，θ₂是BA與豎直方向的夾角．
（1）求小球到達A點時的速度vA的大小和方向；
（2）若用θ₂表示BA與豎直方向的夾角，試推出θ₂和θ₁滿足的關系式（用正切函數表示）；
（3）若小球滑至圓弧凹槽最低點時的速度大小為v，求此時小球對凹槽的壓力．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形定則，抓住小球恰能從固定在某位置的凹槽的圓弧軌道的左端A沿圓弧切線方向進入軌道，求出小球在A點的速度大小和方向．
（2）結合平拋運動的規(guī)律，通過平行四邊形定則得出θ₂和θ₁的正切值，從而得出兩者滿足的關系．
（3）根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而結合牛頓第三定律求出小球對凹槽的壓力．

解答 解：（1）根據平行四邊形定則知，$cos{θ}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{v}_{A}}$，
所以${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$，方向與水平方向的夾角為θ₁．
（2）小球從B點開始做平拋運動，
有：x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
且$tan{θ}_{2}=\frac{x}{y}=\frac{2{v}_{0}}{gt}$
解得t=$\frac{2{v}_{0}}{gtan{θ}_{2}}$，
到達A點時，${v}_{y}=gt=\frac{2{v}_{0}}{tan{θ}_{2}}$，
由題意知，v_A與OA垂直，則有：$tan{θ}_{1}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{2}{tan{θ}_{2}}$，
所以tanθ₁•tanθ₂=2．
（3）小球在凹槽的最低點有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得${F}_{N}=mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由牛頓第三定律得，小球對凹槽的壓力為${F}_{N}′=mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$，
方向豎直向下．
答：（1）小球到達A點時的速度的大小為$\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$，方向與水平方向的夾角為θ₁．
（2）θ₂和θ₁滿足的關系式為tanθ₁•tanθ₂=2．
（3）小球對凹槽的壓力為$mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$．

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動的綜合運用，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．