Question

3．如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道與粗糙的斜面相切于B點(diǎn)，斜面與水平面呈θ=37°角．質(zhì)量為m=1.0kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），與斜面間的動(dòng)摩擦因素μ=0.25，由靜止從A點(diǎn)釋放物塊，到達(dá)B點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道時(shí)無能量損失，物塊恰好能通過最高點(diǎn)C后離開半圓軌道．一直S_AB=2m，g取10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求物塊從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間t和到達(dá)B點(diǎn)的速度大小v_B；
（2）求半圓軌道半徑R；
（3）如果小物塊由靜止仍從A點(diǎn)釋放，使之能沿半圓軌道返回B點(diǎn)，求半徑R的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物塊進(jìn)行受力分析求得合外力，然后由牛頓第二定律求得加速度，即可根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間和末速度；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求得在C點(diǎn)的速度，然后對(duì)從B到C的運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用機(jī)械能守恒求得半徑；
（3）對(duì)物塊從B到最高點(diǎn)應(yīng)用機(jī)械能守恒即可求得高度，然后根據(jù)物塊圓軌道返回得到半徑范圍．

解答 解：（1）物塊在AB上運(yùn)動(dòng)，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ=0.2mg=2N，所以，加速度a=2m/s²；
那么由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：物塊從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間$t=\sqrt{\frac{2{S}_{AB}}{a}}=\sqrt{2}s$，到達(dá)B點(diǎn)的速度${v}_{B}=at=2\sqrt{2}m/s$；
（2）物塊恰好能通過最高點(diǎn)C，故對(duì)物塊在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$；
物塊在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$，所以，$R=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{5g}=0.16m$；
（3）小物塊由靜止仍從A點(diǎn)釋放，故物塊在B處的速度仍為${v}_{B}=2\sqrt{2}m/s$；
要使物塊沿半圓軌道返回B點(diǎn)，那么物塊在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最高點(diǎn)的豎直高度h≤R；
又有物塊在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgh$，所以，$R≥h=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2g}=0.4m$；
答：（1）物塊從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間t為$\sqrt{2}s$；到達(dá)B點(diǎn)的速度大小v_B為$2\sqrt{2}m/s$；
（2）半圓軌道半徑R為0.16m；
（3）如果小物塊由靜止仍從A點(diǎn)釋放，使之能沿半圓軌道返回B點(diǎn)，半徑R不小于0.4m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．