Question

（2006?連云港三模）如圖所示，矩形導(dǎo)線框abcd固定在水平面上，ab=L、bc=2L，整個(gè)線框處于豎直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．導(dǎo)線框上ab、cd段電阻不計(jì)，bc、ad段單位長(zhǎng)度上的電阻為λ．今在導(dǎo)線框上放置一個(gè)與ab邊平行且與導(dǎo)線框接觸良好的金屬棒MN，其電阻為r（r＜λL）．金屬棒在外力作用下沿x軸正方向做速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)，在金屬棒從導(dǎo)線框最左端（x=0）運(yùn)動(dòng)到最右端的過中：
（1）請(qǐng)導(dǎo)出金屬棒中的感應(yīng)電流I隨x變化的函數(shù)關(guān)式；
（2）通過分析說明金屬棒在運(yùn)動(dòng)過程中，MN兩點(diǎn)間電壓  有最大值，并求出最大值U_m；
（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中，在什么位置MN的輸出功率最大？并求出最大輸出功率P_m．

Answer 1

分析：（1）金屬棒在外力作用下沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv．根據(jù)串、并聯(lián)關(guān)系求出外電路總電阻與x的關(guān)系，由閉合電路歐姆定律得到感應(yīng)電流I與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)外電路總電阻最大時(shí)，MN間的電壓最大，此時(shí)MN運(yùn)動(dòng)到bc、ad兩邊的中線，求出感應(yīng)電流，由歐姆定律求得M、N間電壓最大值U_m．
（3）當(dāng)外電路電阻等于電源的內(nèi)阻時(shí)，MN輸出功率最大，由功率公式求出最大輸出功率P_m．

解答：解：（1）當(dāng)金屬棒運(yùn)動(dòng)到x處時(shí)，外電路總電阻為R=

2xλ?(2L-x)λ

2xλ+(2L-x)λ

=

xλ(2L-x)

L

  ①
  MN產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv  ②
則金屬棒中的感應(yīng)電流I=

E

R+r

  ③
由①②③整理得
   I=

BL2V

λx(2L-x)+Lr

（2）當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到bc、ad兩邊的中線時(shí)，外電路總電阻最大，MN兩點(diǎn)間電壓 有最大值．
此時(shí)x=L，電流I=

BLv

λL+r

最大值U_m=E-IλL=

BL2vλ

r+λL

（3）當(dāng)R=rL時(shí)，MN的輸出功率最大，
即有 

xλ(2L-x)

L

=L
解得  x=L±

L2- Lr λ

最大輸出功率P_m=(

E

2r

)2r=

B2L2V2

4r

答：
（1）金屬棒中的感應(yīng)電流I隨x變化的函數(shù)關(guān)式是I=

BL2V

λx(2L-x)+Lr

；
（2）MN兩點(diǎn)間電壓有最大值，最大值U_m為

BL2vλ

r+λL

．
（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中，在x=L±

L2- Lr λ

位置MN的輸出功率最大，最大輸出功率P_m為

B2L2V2

4r

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)中電路問題，要理解并掌握路端電壓與外電阻的關(guān)系，熟記重要結(jié)論：當(dāng)外電路電阻等于電源的內(nèi)阻時(shí)，電源的輸出功率最大．