Question

4．如圖所示，甲、乙兩塊透明介質(zhì)，折射率不同，截面為$\frac{1}{4}$圓周，半徑均為R，對(duì)接成半圓．一光束從A垂直射入甲中，OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，在B點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，從乙介質(zhì)D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）射出時(shí)，出射光線(xiàn)與BD連線(xiàn)間夾角為15°．已知光在真空中的速度為c，求：
（1）甲介質(zhì)的折射率；
（2）光由A到D傳播的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）光線(xiàn)在B點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C，由幾何關(guān)系求出臨界角C，再由臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求甲介質(zhì)的折射率；
（2）光線(xiàn)在D點(diǎn)發(fā)生折射，根據(jù)折射定律求出乙介質(zhì)的折射率，由v=$\frac{c}{n}$求出光線(xiàn)在兩種介質(zhì)中傳播的速度，再由t=$\frac{s}{v}$求光由A到D傳播的總時(shí)間．

解答 解：（1）據(jù)題，光線(xiàn)在B點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角，由幾何知識(shí)可知，甲介質(zhì)中臨界角為 C_甲=45°，則
甲介質(zhì)的折射率 n_甲=$\frac{1}{sin{C}_{甲}}$=$\frac{1}{sin45°}$=$\sqrt{2}$
（2）乙介質(zhì)中，光線(xiàn)在D點(diǎn)發(fā)生折射，入射角 i=45°，折射角 r=60°
則乙介質(zhì)的折射率 n_乙=$\frac{sinr}{sini}$
解得 n_乙=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
由光在介質(zhì)中的傳播速度 v=$\frac{c}{n}$得：
     光在甲介質(zhì)中的傳播速度 v_甲=$\frac{c}{{n}_{甲}}$
     光在乙介質(zhì)中的傳播速度 v_乙=$\frac{c}{{n}_{乙}}$
由幾何知識(shí)可得：
    光在甲介質(zhì)中的傳播距離 x_甲=$\sqrt{2}$R
    光在乙介質(zhì)中的傳播距離 x_乙=$\sqrt{2}$R
則光在甲介質(zhì)中的時(shí)間 t_甲=$\frac{{x}_{甲}}{{v}_{甲}}$
光在乙介質(zhì)中的時(shí)間 t_乙=$\frac{{x}_{乙}}{{v}_{乙}}$
所以光由A到D傳播的總時(shí)間 t=t_甲+t_乙．
聯(lián)立解得  t=$\frac{（4+\sqrt{3}）R}{2c}$
答：
（1）甲介質(zhì)的折射率是$\sqrt{2}$；
（2）光由A到D傳播的總時(shí)間是$\frac{（4+\sqrt{3}）R}{2c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是簡(jiǎn)單的幾何光學(xué)問(wèn)題，其基礎(chǔ)是作出光路圖，要能根據(jù)幾何知識(shí)確定入射角或折射角，求出光傳播的距離．