Question

如圖所示，兩個(gè)不計(jì)厚度的彈性擋板分別固定在水平桌面上A、D的位置，兩個(gè)大小相同可看作質(zhì)點(diǎn)的小球質(zhì)量分別為m₁、m₂，且m₂=5m₁，開始時(shí)兩球位于B、C的位置，且AB=BC=CD=L，m₂靜止，m₁以水平初速度v₀向m₂運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩球之間、球與擋板之間的碰撞均沒有機(jī)械能損失，碰撞時(shí)間、所有摩擦均不計(jì)．求
（1）m₁和m₂之間發(fā)生第一次碰撞后各自的速度大小
（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩球均回到起始狀態(tài)．

Answer 1

分析：（1）由題意知，兩球之間的碰撞沒有機(jī)械能損失，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，由兩大守恒定律列式求解m₁和m₂之間發(fā)生第一次碰撞后各自的速度大�。�
（2）碰后m₂運(yùn)動(dòng)到D位置時(shí)，與擋板相碰，以原速率彈回，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出m₂從C點(diǎn)碰后第一次返回C位置所用的時(shí)間．同理可求出m₁從C點(diǎn)碰后第一次返回C位置所用的時(shí)間，結(jié)果兩球在C位置第二次相碰．m₁，m₂第二次碰撞過(guò)程是它們?cè)贑位置第一次相碰的逆過(guò)程，即碰后m₂停在C位置，m₁又以v₀的速度水平向左運(yùn)動(dòng)．再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出m₁從第二次碰后到下一次以水平向右的速度返回B點(diǎn)所用時(shí)間，以及m₁第一次碰前從B到C所用時(shí)間，即可得解．

解答：解：（1）令v₁、v₂分別表示m₁與m₂第一次碰后兩球的速度，規(guī)定碰前m₁的速度v₀的方向?yàn)檎�方向�?br />對(duì)m₁、m₂所構(gòu)成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得：
  m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
 

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

結(jié)合題目情景解得：v₁=-

2

3

v₀ v₂=

1

3

v0
（2）碰后m₂運(yùn)動(dòng)到D位置時(shí)，與擋板相碰，以原速率彈回，
m₂從C點(diǎn)碰后第一次返回C位置所用時(shí)間：t₂=

2L

1 3 v0

=

6L

v0

同理，m₁從C點(diǎn)碰后第一次返回C位置所用時(shí)間：t₂′=

4L

2 3 v0

=

6L

v0

故m₂與m₁將在C位置第二次相碰．                                  
m₁，m₂第二次碰撞過(guò)程是它們?cè)贑位置第一次相碰的逆過(guò)程，即碰后m₂停在C位置，m₁又以v₀的速度水平向左運(yùn)動(dòng)．
或：令v₁′、v₂′分別表示m₁與m₂第二次碰后兩球的速度，對(duì)m₁，m₂所構(gòu)成的系統(tǒng)，仍以v₀的方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得：
m₁（-v₁）+m₂（-v₂）=m₁ v₁′+m₂ v₂′

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=

1

2

m1

v′

2 1

+

1

2

m2

v′

2 2

結(jié)合題目情景解得：v₁′=-v₀ v₂′=0 
m₁從第二次碰后到下一次以水平向右的速度返回B點(diǎn)所用時(shí)間為：t₃=

3L

v0

m₁第一次碰前從B到C所用時(shí)間為：t₁=

L

v0

設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間T兩球均回到起始狀態(tài)，則有：T=t₁+t₂+t₃=

10L

v0

答：（1）m₁和m₂之間發(fā)生第一次碰撞后各自的速度大小分別為

2

3

v₀和

1

3

v0．
（2）經(jīng)過(guò)

10L

v0

時(shí)間兩球均回到起始狀態(tài)．

點(diǎn)評(píng)：本題是彈性碰撞與勻速運(yùn)動(dòng)結(jié)合的問題，根據(jù)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒和勻速運(yùn)動(dòng)速度公式結(jié)合進(jìn)行求解．