Question

1．如圖所示，在長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿中點(diǎn)A和端點(diǎn)B各固定一質(zhì)量為m的小球（可看做質(zhì)點(diǎn)），桿可繞無(wú)摩擦的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，使桿從水平位置無(wú)初速度釋放擺下，重力加速度為g．當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)：
求：（1）A、B兩球的速度各是多大？
（2）OA段輕桿對(duì)A球及AB段輕桿對(duì)B球的拉力各是多大？
（3）該過(guò)程中輕桿對(duì)A、B兩球分別做了多少功？

Answer 1

分析 對(duì)A、B兩球組成的系統(tǒng)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，抓住A、B的角速度相等，根據(jù)A、B的速度關(guān)系，利用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求出A、B兩球的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理分別求出輕桿對(duì)A、B兩球分別做的功．

解答 解：（1）設(shè)當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，A球和B球的速度分別為v_A和v_B．如果把輕桿、兩球組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，系統(tǒng)機(jī)械能守恒．若取B的最低點(diǎn)為重力勢(shì)能參考平面，根據(jù)△E_減=△E_增
可得：mgL$+\frac{1}{2}$mgL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$                   
又因A球與B球在各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角速度相同，故v_B=2v_A
由以上二式得：v_A=$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$，v_B=$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$．
（2）對(duì)B球：根據(jù)牛頓第二定律有：F₁-mg=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：F₁=$\frac{17}{5}$mg
對(duì)A球：F₂-F₁-mg=m$\frac{{v}_{{\;}_{A}^{2}}}{\frac{1}{2}L}$
解得：F₂=$\frac{28}{5}$mg
（3）根據(jù)動(dòng)能定理，可解出桿對(duì)A、B做的功．
對(duì)A有：W_A+mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$，
所以W_A=-0.2mgL．
對(duì)B有：W_B+mgL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$-0，
所以得：W_B=0.2mgL．
答：（1）A、B兩球的速度分別為：v_A=$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$，v_B=$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$．
（2）OA段輕桿對(duì)A球及AB段輕桿對(duì)B球的拉力各是$\frac{17}{5}$mg，$\frac{28}{5}$mg；
（3）該過(guò)程中輕桿對(duì)A、B兩球分別做了功為-0.2mgL，0.2mgL．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道A、B兩球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因?yàn)闂U子做功為變力做功，只能求出A、B的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出桿子的做功