Question

如圖，在豎直面內(nèi)的坐標系xoy中，x軸上方存在豎直向下的勻強電場，電場強度 E=12N/C，在x軸下方存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=2T，一帶電量為q=+3×10^-4c、質(zhì)量為m=3.6×10^-4kg的小球，從（1m，0.5m）處以初速度v₀沿x軸負方向拋出，剛好經(jīng)坐標原點與x軸成45°，沿切線方向進入圖中半徑為R₁=

6

5

(2+

2

)m的光滑圓弧軌道Ⅰ，再次經(jīng) x軸沿切線方向進入半徑為R₂=3(2+

2

)m，的光滑圓弧軌道Ⅱ，求：（g取10m/s²）



（1）小球拋出時的初速度；
（2）小球到達軌道Ⅰ的最低點時對軌道的壓力；
（3）若小球從從第一象限某位置沿x軸負向拋出后均能通過坐標原點沿切線方向進入軌道Ⅰ，再沿軌道Ⅱ外側(cè)到達最高點，求小球拋出的所有可能位置．

Answer 1

（1）由題意知：Eq=mg=3.6×10^-3N，則：a=

Eq+mg

m

=2g=20m/s2
由y1=

1

2

at2得  t=

2 5

20

s  
由x₁=v₀t  得   v0=2

5

m/s
（2）設(shè)小球到達軌道Ⅰ最底點的速度為v₁，所受支持力為F_N，洛化茲力為F_B，則：

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

=(Eq+mg)y1+mgR1(1-cos45°)
代入數(shù)據(jù)得：v₁=8m/s
在軌道Ⅰ的最低點，有 FN-FB-mg=m

v2

R1

代入數(shù)據(jù)得 F_N=1.27×10^-2N
即此時小球?qū)�軌道Ⅰ的壓力�?.27×10^-2N
（3）因小球達坐標原點時的速度偏向角為45°，則小球的位移偏向角正切值為0.5，即小球拋出點的位置必在方程y=

1

2

x上．
（Ⅰ）設(shè)小球從（x₂，y₂）處以初速度v₀₁拋出，達軌道Ⅱ最高點的速度為零，則：
  0-

1

2

m

v

20

=(Eq+mg)[y2+R2(1-cos45°)]
代入數(shù)據(jù)并化簡得：

v

20

=40(3-y2)
由：y2=

1

2

x2
  

1

2

a

t

22

=

1

2

v01t2得：20t₂=v₀₁
由上兩式得：t2=

3 20

s 
           v01=2

15

（m/s）
故：x2=v01t=2

15

×

3 20

=3（m）
（Ⅱ）設(shè)小球從（x₃，y₃）處以初速度v₀₂拋出，達軌道Ⅱ最高點的最大速度為v₂，則：
 

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

202

=(Eq+mg)[y3+R2(1-cos45°)]
  Eq+mg=

m v 22

R2

代入數(shù)據(jù)并化簡得：

v

202

-60(2+

2

)=40(3-y3)
得：t2=

3(4- 2 ) 40

s  
   v02=

30(4- 2 )

m/s  
則得 x02=t2v02=3(4-

2

)m
由此可知：要讓小球到達軌道Ⅱ的最高點，小球拋出的位置在y=

1

2

x上，
區(qū)間為3m≤x≤3(4-

2

)m
答：
（1）小球拋出時的初速度是2

5

m；
（2）小球?qū)�軌道Ⅰ的壓力�?.56×10^-3N；
（3）要讓小球到達軌道Ⅱ的最高點，小球拋出的位置在y=

1

2

x上，區(qū)間為3m≤x≤3(4-

2

)m．