Question

地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω，萬(wàn)有引力恒量為G，若規(guī)定物體離無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的引力勢(shì)能可表示為Ep=-

GMm

r

．
（1）試證明一質(zhì)量m的衛(wèi)星在離地面距離為h時(shí)所具有的機(jī)械能為E=-

GMm

2(R+h)

；
（2）國(guó)際空間站是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個(gè)巨大人造天體，設(shè)空間站離地面高度為h，如果在該空間站直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能達(dá)到地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，該衛(wèi)星在離開(kāi)空間站時(shí)必須具有多大的初動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出衛(wèi)星的線速度，再求出動(dòng)能和引力勢(shì)能求解．
（2）同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出軌道半徑．
衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，離開(kāi)航天飛機(jī)時(shí)衛(wèi)星的初動(dòng)能等于機(jī)械能減去引力勢(shì)能．

解答：解：（1）證明：由萬(wàn)有引力提供向心力得

GMm

r2

=

mv2

r

r=R+h
得：物體在離地面h處的動(dòng)能為E_k=

1

2

mv2=

GMm

2(R+h)

物體在離地面的引力勢(shì)能為：E_p=-

GMm

R+h

物體在離地面h的機(jī)械能為：
E=E_k+E_p=-

GMm

2(R+h)

（2）同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)動(dòng)行時(shí)有：

GMm

r 2 1

=mω²r₁
故其軌道半徑r₁=

3	GM ω2

由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能
E₁=-

GMm

2r1

=-

1

2

m

3	G2M2ω2

衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，故離開(kāi)航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能為E₁
設(shè)離開(kāi)航天飛機(jī)時(shí)衛(wèi)星的初動(dòng)能為E_k0
則：E_k0=E₁-E_p=-

1

2

m

3	G2M2ω2

+

GMm

R+h

答：（1）證明在上
（2）該衛(wèi)星在離開(kāi)空間站時(shí)必須具有的初動(dòng)能是-

1

2

m

3	G2M2ω2

+

GMm

R+h

．

點(diǎn)評(píng)：該題關(guān)鍵是運(yùn)用萬(wàn)有引力提供向心力列出等式求解．
清楚衛(wèi)星在沒(méi)有其他動(dòng)力時(shí)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是機(jī)械能守恒的．