Question

如圖所示，物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的物體B相連，物體A、B的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止狀態(tài)．一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤，開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向．現(xiàn)在掛鉤上掛一物體C并從靜止狀態(tài)開始釋放，已知物體B剛離開地面時，物體A恰好獲得最大速度，重力加速度為g，求：
（1）物體B剛離開地面時，物體C下落的高度h；
（2）物體C的質(zhì)量M；
（3）物體A獲得的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）物體C下降的高度等于物體A下降的高度；開始時彈簧壓縮，后來彈簧拉長，物體C下落的高度h等于彈簧長度的增加量；
（2）物體B剛離開地面時，物體A恰好獲得最大速度，說明物體A受力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（3）物體A、B、C以及彈簧系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解即可．

解答：解：（1）開始時，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x₁，
對A有：?kx₁=mg                                                              
掛C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設(shè)B剛要離地時彈簧伸長量為x₂，
對B有：?kx₂=mg                                                        
C下落的高度h等于A上升的高度，h=x1+x2=

2mg

k

                   
（2）設(shè)繩的拉力為T，彈簧伸長量為x，物體A的加速度為a，物體C的加速度與A的加速度大小相等，根據(jù)牛頓第二定律
對A有：T-mg-kx=ma                                       
對C有：Mg-T′=Ma                                         
T=T′
B剛要離地時，A獲得最大速度，有：kx=kx₂=mg，a=0              
聯(lián)立解得：M=2m                                              
（3）由于x₁=x₂，彈簧處于壓縮和伸長狀態(tài)時彈性勢能相同，且B剛離開地面時，A、C兩物體的速度大小相同．                                            
 A、C及彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，有：Mgh-mgh=

1

2

(M+m)

v

2 m

  
 聯(lián)立解得vm=

4mg2 3k

答：（1）物體B剛離開地面時，物體C下落的高度h為

2mg

k

；
（2）物體C的質(zhì)量M為2m；
（3）物體A獲得的最大速度為

4mg2 3k

．

點評：本題關(guān)鍵分析清楚物體的運動規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件和機械能守恒定律以及胡克定律列式后聯(lián)立求解即可．