Question

4．某高速公路的一個出口路段如圖所示，情景簡化：轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)（通過B點(diǎn)前后速率不變），再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到D點(diǎn)停下．已知轎車在A點(diǎn)的速度v₀=72km/h，AB長L₁=l50m；BC為四分之一水平圓弧段，限速（允許通過的最大速度）v=36km/h，輪胎與BC段路面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動摩擦力，CD段為平直路段長L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²．
（1）若轎車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為v=36km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大��；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值；
（3）轎車A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時間．

Answer 1

分析 （1）轎車在AB段做勻減速直線運(yùn)動，已知初速度、位移和末速度，根據(jù)速度位移關(guān)系公式求解加速度．
（2）轎車在BC段做勻速圓周運(yùn)動，由靜摩擦力充當(dāng)向心力，為保證行車安全，車輪不打滑，所需要的向心力不大于最大靜摩擦力，據(jù)此列式求解半徑R的最小值．
分三段，分別由運(yùn)動學(xué)公式求解時間，即可得到總時間

解答 解：（1）v₀=72km/h=20m/s，AB長L₁=l50m，v=36km/h=10m/s，對AB段勻減速直線運(yùn)動有
v²$-{v}_{0}^{2}$=-2aL₁   
 代入數(shù)據(jù)解得   a=1m/s²     　　　　　　
（2）汽車在BC段做圓周運(yùn)動，靜摩擦力提供向心力，
${F_f}=m\frac{v^2}{R}$
為了確保安全，則須滿足  F_f≤μmg
聯(lián)立解得：R≥20m，即：R_min=20m　　　
（3）設(shè)AB段時間為t₁，BC段時間為t₂，CD段時間為t₃，全程所用最短時間為t．
L₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$      
$\frac{1}{2}π$R=vt₂
L₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$
t=t₁+t₂+t₃        
解得：t=23.14 s  
答：（1）若轎車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為v=36km/h，轎車在AB下坡段加速度的大小為1m/s²；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC半徑R的最小值為20m；
（3）轎車A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時間為23.14 s．

點(diǎn)評 本題是運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)綜合題，能結(jié)合物體的運(yùn)動情況，靈活選擇運(yùn)動學(xué)的公式形式是關(guān)鍵，當(dāng)不涉及加速度而要求時間時，可用位移等于平均速度乘以時間來求．