Question

17．兩輛汽車A與B，在t=0時(shí)從十字路口O處分別以速度v_A和v_B沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn)，如圖所示．汽車A持續(xù)地以固定的頻率v₀鳴笛，求在任意時(shí)刻t汽車B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率．已知聲速為u，且當(dāng)然有u＞v_A、v_B．

Answer 1

分析 傳播到汽車B的笛聲不是t時(shí)刻，而是較早時(shí)刻t₁由A車發(fā)出的．作出示意圖，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何關(guān)系列出方程，求出t₁和t-t₁的表達(dá)式，再結(jié)合多普勒效應(yīng)求出汽車B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率．

解答 解：t時(shí)刻汽車B位于B（t）處，距O點(diǎn)的距離為v_Bt．此時(shí)傳播到汽車B的笛聲不是t時(shí)刻，而是較早時(shí)刻t₁由A車發(fā)出的．汽車A發(fā)出此笛聲時(shí)位于A（t₁）處，距O點(diǎn)的距離為v_At₁．此笛聲由發(fā)出點(diǎn)到接收點(diǎn)（t時(shí)刻B車所在點(diǎn)）所傳播的路程為u（t-t₁），由幾何關(guān)系可知，
$（{v}_{B}t）^{2}+（{v}_{A}{t}_{1}）^{2}=[u（t-{t}_{1}）]^{2}$    ①
即$（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）{t}_{1}{\;}^{2}-2{u}^{2}t{t}_{1}+（{u}^{2}-{{v}_{B}}^{2}）{t}^{2}$=0．
這是以t₁為變量的一元二次方程，其解為${t}_{1}=（\frac{{u}^{2}±\sqrt{{μ}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}）$，
由于${u}^{2}＞{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}$，但t₁＜t，所以上式中只能取減號(hào)，
即${t}_{1}=\frac{{u}^{2}-\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}$t，②
$t-{t}_{1}=\frac{\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}-{{v}_{A}}^{2}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}t$    ③
令$\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}=k$，④
有：${t}_{1}=\frac{{u}^{2}-k}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}t$，$t-{t}_{1}=\frac{k-{{v}_{A}}^{2}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}t$    ⑤

在t₁時(shí)刻，位于A（t₁）處的汽車A發(fā)出的笛聲沿直線（即波線）$\overline{A（{t}_{1}）B（t）}$在t時(shí)刻傳到B（t）處，以θ_A（t）、θ_B（t）分別表示車速與笛聲傳播方向的夾角，有$cos{θ}_{A（t）}=\frac{{v}_{A}{t}_{1}}{u（t-{t}_{1}）}=\frac{{v}_{A}（{u}^{2}-k）}{u（k-{{v}_{A}}^{2}）}$   ⑥
$cos{θ}_{B（t）}=\frac{{v}_{B}t}{u（t-{t}_{1}）}=\frac{{v}_{B}（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）}{u（k-{{v}_{A}}^{2}）}$    ⑦

令ν 表示B車司機(jī)接收到的笛聲的頻率，由多普勒效應(yīng)可知
$v=\frac{u-{v}_{B}cos{θ}_{B（t）}}{u+{v}_{A}cos{θ}_{A（t）}}{v}_{0}$    ⑧

由⑥⑦⑧式，得v=$\frac{{u}^{2}（\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}-{{v}_{A}}^{2}）-{{v}_{B}}^{2}（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）}{（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}$v₀．
答：在任意時(shí)刻t汽車B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率為$\frac{{u}^{2}（\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}-{{v}_{A}}^{2}）-{{v}_{B}}^{2}（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）}{（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}$v₀．

點(diǎn)評(píng) 多普勒效應(yīng)是由于觀察者和波源間位置的變化而產(chǎn)生的，多普勒效應(yīng)是波特有的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵作出示意圖，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析求解，本題對(duì)計(jì)算能力的要求較高，是一道競(jìng)賽題．