Question

10．如圖1所示，水平地面上有一輛固定有長為L的豎直光滑絕緣管的小車，管的底部有一質量m=0.02g、電荷量q=8×10^-5C的小球，小球的直徑比管的內徑略�。�管口的側壁處裝有壓力傳感器，能夠測出小球離開管口時對管壁的壓力．在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應強度為B₁=1.5T的勻強磁場，MN面的上方還存在著豎直向上、場強E=2.5V/m的勻強電場和垂直紙面向外、磁感應強度B₂=0.5T的勻強磁場．現(xiàn)讓小車始終保持v_x=2m/s的速度勻速向右運動，以帶電小球剛經過場的邊界PQ為計時的起點，當小球運動到管口時，測得小球對管側壁的彈力F_N=2.4×10^-4N．g取10m/s²，π取3，不計空氣阻力．求：
（1）小球剛進入磁場B₁時的加速度大小a_y；
（2）在圖2虛線框內畫出小球受管壁的彈力隨豎直位移y變化的圖象，在方格內寫出小球離開管口時的豎直位移大小，并計算出管壁彈力對小球做的功；
（3）小球離開管后再次經過水平面MN時距管口的距離△x．

Answer 1

分析 （1）由受力分析，求出加速度大即可
（2）由運動學知識求出小球的運動狀態(tài)，運用定能定理求出功的大小
（3）電場力與重力平衡，小球在復合場中做勻速圓周運動，求出軌跡半徑，然后求解即可

解答 解：（1）以小球為研究對象，豎直方向小球受重力和恒定的洛倫茲力f_y，故小球在管中豎直方向做勻加速直線運動，加速度大小為a_y，則：
${a}_{y}=\frac{{f}_{y}-mg}{m}$，
f_y=qv_xB₁
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：a_y=2m/s²
（2）以地面為參照物，小球在水平方向以v_x=2m/s的速度勻速向右運動，豎直方向在洛倫茲力分力f_y和重力共同作用下做初速度為零，加速度大小為a_y勻加速運動
豎直方向由運動學公式：v_y²=2a_yy
水平方向做勻速運動，由平衡條件：F′_N=qv_yB₁
聯(lián)立以上可得：F′_N=2.4×10^-4N
由牛頓第三定律知，
小球離開管口時F′_N=2.4×10^-4N，故此時y_m=1m，圖象如圖所示
對小球在離開管口前由動能定理，其中洛倫茲力不做功，有：
W-mgy_m=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{x}^{2}$
小球離開管口時速度為：
v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}{+v}_{y}^{2}}=2\sqrt{2}m/s$
解得：W=2.4×10^-4J
（3）小球離開管口進入復合場，其中qE=2×10^-4N，mg=2×10^-4N．故電場力與重力平衡，小球在復合場中做勻速圓周運動．合速度為：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}{+v}_{y}^{2}}=2\sqrt{2}m/s$，
與MN成θ，其中tanθ$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=1$即 θ=45°，
軌道半徑為R，qvB₂=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\sqrt{2}$m
小球離開管口開始計時，到再次經過MN所通過的水平距離：${x}_{1}=\sqrt{2}R2m$
對應時間$t=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2q{B}_{2}}=\frac{π}{4}=\frac{3}{4}$s
小車運動距離為：x₂=vt=1.5m
△x=x₁-x₂=0.5m
答：（1）小球剛進入磁場B₁時的加速度大小2.0m/s²
（2）管壁彈力對小球做的功為2.4×10^-4J；
（3）小球離開管后再次經過水平面MN時距管口的距離△x為0.5m．

點評 本題考查了帶電粒子在復合場中的運動，對復合場的理解和運動過程的分析是解決此類問題的關鍵．關鍵是畫出運動軌跡