Question

13．如圖，在光滑的水平地面上，質(zhì)量為M=3.0kg的長木板A的左端，疊放著一個質(zhì)量為m=1.0kg的小物塊B（可視為質(zhì)點），處于靜止狀態(tài)，小物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ=0.30．在木板A的左端正上方，用長為R=0.8m的不可伸長的輕繩將質(zhì)量為m=1.0kg的小球C懸于固定點O點．現(xiàn)將小球C拉至上方使輕繩拉直且與水平方向成θ=30°角的位置由靜止釋放，到達O點的正下方時，小球C與B發(fā)生彈性碰撞，空氣阻力不計，取g=10m/s²． 求：
（1）輕繩再次拉直繃緊前后瞬間小球C速度大��；
（2）小球C與小物塊B碰撞前瞬間輕繩對小球的拉力大小；
（3）木板長度L至少為多大時，小物塊才不會滑出木板？

Answer 1

分析 （1）輕繩再次拉直繃緊前，小球C的機械能守恒，由機械能守恒定律求出繩子繃緊前瞬間小球C的速度v₀．繩子繃緊瞬間，小球沿圓周切線方向的分速度為v₀cosθ．
（2）小球由a點運動到最低點b點過程中機械能守恒定律求出小球C與小物塊B碰撞前瞬間的速度，在此瞬間，小球C由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解拉力．
（3）C與B碰撞遵守動量守恒定律和能量守恒定律求出碰后兩者的速度．再研究B在A上滑行的過程，由動量守恒定律和能量守恒定律求出木板的最小長度．

解答 解：（1）O到a過程，據(jù)機械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
輕繩被拉緊瞬間，沿繩方向的速度變?yōu)?，沿圓周切線方向的速度為 v_α=v₀cosθ=4×cos30°=2$\sqrt{3}$m/s
（2）小球由a點運動到最低點b點過程中，由機械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{α}^{2}$+mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}m{v}_^{2}$
設小球在最低點受到輕繩的拉力為F，據(jù)牛頓第二定律有
   F-mg=m$\frac{{v}_^{2}}{R}$
 解得：F=3.5mg=35N
（3）小球與B碰撞過程中動量和機械能均守恒，取向右為正方向，則有
   mv_b=mv₁+mv₂ 
   $\frac{1}{2}$mv_b²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=0，v₂=v_b=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，碰撞后小球C與B交換速度
B在木板A上滑動過程，系統(tǒng)動量守恒，有
  mv₂=（m+M）v
B在木板A上滑動的過程中，由能量守恒定律得
   μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+M）v² 　
聯(lián)立解得 L=$\frac{M}{2μg（m+M）}$$（\sqrt{\frac{5gR}{2}}）^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 L=2.5m 
答：
（1）輕繩再次拉直繃緊前后瞬間小球C速度大小是2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球C與小物塊B碰撞前瞬間輕繩對小球的拉力大小是35N；
（3）木板長度L至少為2.5m時，小物塊才不會滑出木板．

點評 解決本題的關鍵要理清物體的運動情況，要知道繩子繃緊瞬間沿繩子方向的速度突然減至零．彈性碰撞過程遵守兩大守恒：動量定律和機械能守恒，質(zhì)量相等的兩球發(fā)生彈性碰后會交換速度．