Question

（2008?東城區(qū)一模）如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=4.0kg的平板車，車的上表面是一段長L=1.0m的粗糙水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑R=0.25m的

1

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光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在O′點(diǎn)相切．車右端固定一個(gè)尺寸可以忽略、處于鎖定狀態(tài)的壓縮彈簧，一質(zhì)量m=1.0kg的小物塊緊靠彈簧放置，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)將彈簧解除鎖定，小物塊被彈出，恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A．取g=10m/s²．求：
（1）解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）小物塊第二次經(jīng)過O′點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（3）小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)距O′點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)，豎直方向受到重力和地面的支持力，水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒．根據(jù)系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒求解解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）小物塊從最高點(diǎn)下滑到O′的過程中，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，由兩大守恒定律結(jié)合求解小物塊第二次經(jīng)過O′點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（3）對(duì)全過程，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒求出平板車和小物塊的共同的速度，由能量守恒求解物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)距O′點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒，解除鎖定前，總動(dòng)量為零，故小物塊到達(dá)圓弧最高點(diǎn)A時(shí)，二者的共同速度v_共=0
設(shè)彈簧解除鎖定前的彈性勢(shì)能為E_p，上述過程中系統(tǒng)能量守恒，則有 
   E_p=mgR+μmgL
代入數(shù)據(jù)解得 E_p=7.5J
（2）設(shè)小物塊第二次經(jīng)過O'時(shí)的速度大小為v_m，此時(shí)平板車的速度大小為v_M，研究小物塊在平板車圓弧面上的下滑過程，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有
  0=mv_m-Mv_M
mgR=

1

2

mvm2+

1

2

MvM2
代入數(shù)據(jù)解得 v_m=2.0m/s
（3）最終平板車和小物塊相對(duì)靜止時(shí)，二者的共同速度為0．
設(shè)小物塊相對(duì)平板車滑動(dòng)的路程為S，對(duì)系統(tǒng)由能量守恒有 
   E_p=μmgS
代入數(shù)據(jù)解得S=1.5m
則距O'點(diǎn)的距離x=S-L=0.5m
答：
（1）解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能是7.5J；
（2）小物塊第二次經(jīng)過O′點(diǎn)時(shí)的速度大小是2m/s；
（3）小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)距O′點(diǎn)的距離是0.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對(duì)位移，往往根據(jù)能量守恒研究．