Question

12．某行星有一顆環(huán)繞它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，由天文系觀測可知，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T，速度為v，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是行星半徑的10倍，已知引力常量為G．求：
（1）該行星的質(zhì)量M；
（2）該行星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合周期和軌道半徑求出行星的質(zhì)量．
（2）第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼近行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，其軌道半徑近似等于行星的半徑，根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小

解答 解：（1）根據(jù)$v=\frac{2πr}{T}$，得$r=\frac{vT}{2π}$
衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{10}v$
解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}•\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{3}}{（2π）_{\;}^{3}}=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$
（2）行星的半徑$R=\frac{r}{10}=\frac{vT}{20π}$
根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{10}v$
答：（1）該行星的質(zhì)量M為$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$；
（2）該行星的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}$為$\sqrt{10}v$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．