Question

1．如圖所示，空間中存在半徑為R的圓形有界磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．平行板電容器極板間距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，電容器上極板的延長(zhǎng)線恰好與圓形磁場(chǎng)下邊界相切于P點(diǎn)，兩極板右端豎直連線與磁場(chǎng)左邊界相切于Q點(diǎn)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，以大小為$\frac{BqR}{2m}$的初速度緊貼負(fù)極板從左側(cè)垂直電場(chǎng)方向射入，并從兩板右端豎直連線的中點(diǎn)N射出，后恰好由P點(diǎn)射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）電容器兩板間的電勢(shì)差；
（2）粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到射出磁場(chǎng)的整個(gè)過程所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)的軌跡得到粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度方向，進(jìn)而求得粒子在電場(chǎng)方向的末速度，然后由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)位移求得電勢(shì)差；
（2）根據(jù)類平拋規(guī)律求得粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再由勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得電場(chǎng)、磁場(chǎng)之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；最后再由洛倫茲力做向心力求得半徑和周期，然后由半徑及進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向，根據(jù)幾何關(guān)系求得轉(zhuǎn)過的中心角，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子從N點(diǎn)射出的速度與極板的夾角為θ，板間距為d，如圖所示，可解得：tanθ=$\frac{\frac{1}{2}d}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即θ=30°；
所以，v_y=v₀tanθ；
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子的加速度$a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}=\frac{qU}{md}$，則：${{v}_{y}}^{2}=ad$=$\frac{qU}{m}$；
所以，$U=\frac{m{{v}_{y}}^{2}}{q}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}θ}{q}=\frac{{B}^{2}q{R}^{2}}{12m}$；
（2）帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}d}{\frac{1}{2}a}}=\sqrt{\fracwq8wi88{a}}=\sqrt{\frac{mqyeamya^{2}}{qU}}=\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{{B}^{2}{q}^{2}}}$=$\frac{4m}{Bq}$；
帶電粒子離開電場(chǎng)后，進(jìn)入磁場(chǎng)前做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}=\frac{R}{{v}_{0}}=\frac{2m}{Bq}$；
帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{BqR}{\sqrt{3}m}$；
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，即qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，所以，$r=\frac{mv}{Bq}=\frac{\sqrt{3}}{3}R$；
在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的軌跡如圖所示，∠OPO′=30°，∠POO′=30°，所以，粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的角為360°-2（∠OPO′+∠POO′）=240°；
帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$；
所以，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{3}=\frac{240°}{360°}T=\frac{4πm}{3Bq}$；
所以，粒子整個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=（\frac{4π}{3}+6）\frac{m}{Bq}$；
答：（1）電容器兩板間的電勢(shì)差為$\frac{{B}^{2}q{R}^{2}}{12m}$；
（2）粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到射出磁場(chǎng)的整個(gè)過程所經(jīng)歷的時(shí)間為$（\frac{4π}{3}+6）\frac{m}{Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，一般由洛倫茲力做向心力取得半徑和周期，然后根據(jù)幾何關(guān)系得到半徑和中心角，即可求解相關(guān)問題．