Question

【題目】某興趣小組設(shè)計(jì)了一個(gè)玩具軌道模型如圖甲所示，將一質(zhì)量為m＝0.5kg的玩具小車（可以視為質(zhì)點(diǎn)）放在P點(diǎn)，用彈簧裝置將其從靜止彈出（彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為小車初始動(dòng)能）使其沿著半徑為r＝1.0m的光滑圓形豎直軌道OAO′運(yùn)動(dòng)，玩具小車與水平面PB的阻力為其自身重力的0.5倍（g取10m/s2），PB＝16.0m，O為PB中點(diǎn)。B點(diǎn)右側(cè)是一個(gè)高h＝1.25m、寬L＝2.0m的壕溝。求；

（1）要使小車恰好能越過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)A，小車在O點(diǎn)受到軌道彈力的大�。�

（2）要求小車能安全越過(guò)A點(diǎn)，并從B點(diǎn)平拋后越過(guò)壕溝，則彈簧的彈性勢(shì)能至少為多少？

（3）若在彈性限度內(nèi)，彈簧的最大彈性勢(shì)能Epm＝40J，以O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，從O到B方向?yàn)檎�方向，在圖乙坐標(biāo)上畫(huà)出小車能進(jìn)入圓形軌道且不脫離軌道情況下，彈簧彈性勢(shì)能Ep與小車停止位置坐標(biāo)x關(guān)系圖。

Answer 1

【答案】（1）要使小車恰好能越過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)A，小車在O點(diǎn)受到軌道彈力的大小是30N；（2）要求小車能安全越過(guò)A點(diǎn)，并從B點(diǎn)平拋后越過(guò)壕溝，則彈簧的彈性勢(shì)能至少為44J。

（3）

【解析】

（1）小車恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，有：

得

對(duì)小車從O到A過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：

解得 v0＝5m/s

小車在O點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得

聯(lián)立解得：FN＝6mg＝30N

（2）要求Ⅰ：越過(guò)A點(diǎn)，v0＝5m/s

P→O：Ep彈1﹣kmgxPO＝mv02﹣0

得 Ep彈1＝32.5J

要求Ⅱ：平拋運(yùn)動(dòng)后越過(guò)壕溝，有

L＝vBt

h＝gt2

可得 vB＝4m/s

由動(dòng)能定理，有 Ep彈2﹣kmgxPB＝mvB2﹣0

解得 Ep彈2＝44J

綜上所述，彈簧的彈性勢(shì)能至少為44J。

（3）分類討論：因?yàn)樽畲髲椈蓜?shì)能為40J，所以小車至多運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，必不平拋。

情況1：能越過(guò)A點(diǎn)，彈性勢(shì)能 32.5J≤Ep彈1≤40J。

當(dāng)Ep彈1﹣kmgx1＝0﹣0，得 13m≤x1≤16m。

又因?yàn)?/span>O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，所以實(shí)際坐標(biāo)值為 5m≤x11≤8m。

情況2：恰能到達(dá)圓軌道圓心等高處，當(dāng)Ep彈2﹣kmgxPO﹣mgr＝0﹣0，得 Ep彈2＝25J

mgr＝kmgx21，得 x21＝2m

又因?yàn)?/span>O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以實(shí)際坐標(biāo)值為 x21＝﹣2m

恰能進(jìn)入圓軌道，當(dāng)Ep彈2﹣kmgxPO＝0﹣0，得 Ep彈2＝20J，此時(shí)坐標(biāo)值為0

由動(dòng)能定理表達(dá)式可知，Ep彈與x是線性函數(shù)圖象，如圖。