Question

從 z軸上的 O點發(fā)射一束電量為q（＞0）、質(zhì)量為m的帶電粒子，它們速度統(tǒng)方向分布在以O點為頂點、z軸為對稱軸的一個頂角很小的錐體內(nèi)（如圖所示），速度的大小都等于v．試設(shè)計一種勻強磁場，能使這束帶電粒子會聚于z軸上的另一點M，M點離開O點的經(jīng)離為d．要求給出該磁場的方向、磁感應(yīng)強度的大小和最小值．不計粒子間的相互作用和重力的作用．

Answer 1

設(shè)計的磁場為沿軸方向的勻強磁場，點和點都處于這個磁場中。下面我們根據(jù)題意求出這種磁場的磁感應(yīng)強度的大小。粒子由點射出就進入了磁場，可將與軸成角的速度分解成沿磁場方向的分速度和垂直于磁場方向的分速度（見圖預(yù)解20-4-1），注意到很小，得

                                （1）

                               （2）

粒子因具有垂直磁場方向的分速度，在洛侖茲力作用下作圓周運動，以表示圓周的半徑，有

          

圓周運動的周期

由此得

                                     （3）

可見周期與速度分量無關(guān)。

粒子因具有沿磁場方向的分速度，將沿磁場方向作勻速直線運動。由于兩種分速度同時存在，粒子將沿磁場方向作螺旋運動，螺旋運動螺距為

                      （4）

由于它們具有相同的，因而也就具有相同的螺距；又由于這些粒子是從同一點射出的，所以經(jīng)過整數(shù)個螺距（最小是一個螺距）又必定會聚于同一點。只要使等于一個螺距或一個螺距的（整數(shù)）倍，由點射出的粒子繞磁場方向旋轉(zhuǎn)一周（或若干周后）必定會聚于點，如圖20-4-2所示。所以

     ， ＝1，2，3，…     （5）

由式（3）、（4）、（5）解得

         ， ＝1，2，3，…                          （6）

這就是所要求磁場的磁感應(yīng)強度的大小，最小值應(yīng)取＝1，所以磁感應(yīng)強度的最小值為

         。                                    （7）

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

磁場方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）給5分，求得式（7）再給2分。