Question

磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具。它的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)簡化為如下模型，固定在列車下端的動(dòng)力繞組可視為一個(gè)矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內(nèi)，長邊MN長為l平行于y軸，寬為d的NP邊平行于x軸，如圖甲所示。列車軌道沿Ox方向，軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，其空間周期為λ，最大值為B₀，如圖乙所示，金屬框同一長邊上各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，整個(gè)磁場以速度v₀沿Ox方向勻速平移。設(shè)在短暫時(shí)間內(nèi)，MN、PQ邊所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化可以忽略，并忽略一切阻力。列車在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作用下沿Ox方向加速行駛，某時(shí)刻速度為v(v＜v₀)。

         

圖甲                                                 圖乙

（1）簡要敘述列車運(yùn)行中獲得驅(qū)動(dòng)力的原理；

（2）為使列車獲得最大驅(qū)動(dòng)力，寫出MN、PQ邊應(yīng)處于磁場中的什么位置及λ與d之間應(yīng)滿足的關(guān)系式；

（3）計(jì)算在滿足第（2）問的條件下列車速度為v時(shí)驅(qū)動(dòng)力的大小。

Answer 1

(1)(2)略

(3)

解析：(1)由于列車速度與磁場平移速度不同，導(dǎo)致穿過金屬框的磁通量發(fā)生變化，由于電磁感應(yīng)，金屬框中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到的安培力即為驅(qū)動(dòng)力。

(2)為使列車獲得最大驅(qū)動(dòng)力，MN、PQ應(yīng)位于磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度同為最大值且反向的地方，這會(huì)使得金屬框所圍面積的磁通量變化率最大，導(dǎo)致框中電流最強(qiáng)，從而使得金屬框長邊中電流受到的安培力最大。因此，d應(yīng)為的奇數(shù)倍，即

d=(2k+1)或λ=(k∈N)。                              ①

(3)由于滿足第（2）問條件，則MN、PQ邊所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B₀且方向總相反，經(jīng)短暫的時(shí)間Δt，磁場沿Ox方向平移的距離為v₀Δt，同時(shí)，金屬框沿Ox方向移動(dòng)的距離為vΔt。

因?yàn)関₀＞v，所以在Δt時(shí)間內(nèi)MN邊掃過磁場的面積

S=(v₀-v)lΔt

在此Δt時(shí)間內(nèi)，MN邊左側(cè)穿過S的磁通移進(jìn)金屬框而引起框內(nèi)磁通量變化

ΔΦ_MN=B₀l(v₀-v)Δt                                             ②

同理，該Δt時(shí)間內(nèi)，PQ邊左側(cè)移出金屬框的磁通引起框內(nèi)磁通量變化

ΔΦ_pQ=B₀l(v₀-v)Δt                                             ③

故在Δt內(nèi)金屬框所圍面積的磁通量變化

ΔΦ=ΔΦ_MN+ΔΦ_pQ                                              ④

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，金屬框中的感應(yīng)電動(dòng)勢大小

E=                                                         ⑤

根據(jù)閉合電路歐姆定律有

I=                                                           ⑥

根據(jù)安培力公式，MN邊所受的安培力F_MN=B₀Il

PQ邊所受的安培力F_pQ=B₀Il

根據(jù)左手定則，MN、PQ邊所受的安培力方向相同，此時(shí)列車驅(qū)動(dòng)力的大小

F=F_MN+F_pQ=2B₀Il                                                   ⑦

聯(lián)立解得F=。                                      ⑧