Question

12．如圖所示，兩根豎直放置的平行光滑金屬導(dǎo)軌，上端接阻值R=3Ω的定值電阻，水平虛線A₁、A₂間有與導(dǎo)軌平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，磁場(chǎng)區(qū)域的高度為d=0.3m，導(dǎo)體棒a的質(zhì)量m_a=0.2kg，電阻R_a=3Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量m_b=0.1kg，電阻R_b=6Ω，它們分別從圖中P、Q處同時(shí)上靜止開始在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦向下滑動(dòng)，且都能勻速穿過磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)b剛穿過磁場(chǎng)時(shí)a正好進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)重力加速度為g=10m/s²，不計(jì)a，b之間的作用，整個(gè)過程中a，b棒始終與金屬導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，求：
（1）在整個(gè)過程中，a，b兩棒克服安培力做的功分別是多少；
（2）a，b棒進(jìn)入磁場(chǎng)的速度；
（3）分別求出P點(diǎn)和Q點(diǎn)距A₁的高度．

Answer 1

分析 （1）a、b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)，其安培力等于各自的重力，根據(jù)重力做功情況求出a、b兩棒克服安培力分別做的功．
（2）a、b進(jìn)入磁場(chǎng)都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受重力和安培力平衡，根據(jù)平衡，結(jié)合閉合電路歐姆定律和切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小公式，求出a、b做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度大小．
（3）應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式可以求出高度．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒只有通過磁場(chǎng)時(shí)才受到安培力，因兩棒均勻速通過磁場(chǎng)，
由能量關(guān)系知，克服安培力做的功與重力功相等，有：
W_a=m_agd=0.2×10×0.3=0.6J，W_b=m_bgd=0.1×10×0.3=0.3J；
（2）設(shè)b棒在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v_b，此時(shí)b棒相當(dāng)于電源，a棒與電阻R并聯(lián)，
此時(shí)整個(gè)電路的總電阻為：R₁=$\frac{R{R}_{a}}{R+{R}_{a}}$+R_b=$\frac{3×3}{3+3}$+6=7.5Ω，
b棒中的電流為：I_b=$\frac{BL{v}_}{{R}_{1}}$，安培力：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_}{{R}_{1}}$，
根據(jù)平衡條件有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_}{{R}_{1}}$=m_bg，
同理，對(duì)a棒，有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{2}}$=m_ag，R₂=5Ω，
解得：$\frac{{v}_}{{v}_{a}}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)b棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有：d=v_bt，
因b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)a正好進(jìn)入磁場(chǎng)，則：v_a=v_b-gt，
解得：v_a=4m/s，v_b=3m/s；
（3）設(shè)P點(diǎn)和Q點(diǎn)距A₁的高度分別為h_a、h_b，兩棒在進(jìn)入磁場(chǎng)前均做自由落體運(yùn)動(dòng)，有：
v_a²=2gh_a，v_b²=2gh_b，代入數(shù)據(jù)解得：h_a=0.8m，h_b=0.45m；
答：（1）在整個(gè)過程中，a，b兩棒克服安培力做的功分別是0.6J、0.3J．
（2）a，b棒進(jìn)入磁場(chǎng)的速度分別為：4m/s、3m/s；
（3）分別求出P點(diǎn)和Q點(diǎn)距A₁的高度分別為：0.8m、0.45m．

點(diǎn)評(píng) 本題電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，電磁與力聯(lián)系橋梁是安培力，這種類問題往往要分析和計(jì)算安培力的大小．本題的關(guān)鍵是尋找兩棒之間的關(guān)系式υ_a=υ_b+gt．