Question

9．如圖所示，有兩個勻強(qiáng)磁場，x軸上方磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里，下方磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向垂直紙面向外．一個電子以速度v從x軸上某點(diǎn)垂直x軸進(jìn)入上方的磁場區(qū)域，此后將在兩磁場中做周期性運(yùn)動，電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不計重力，則：
（1）在圖上定性地畫出電子完成第一個周期性運(yùn)動的軌跡；
（2）電子完成一次周期性運(yùn)動沿x軸移動的距離是多少？
（3）電子完成一次周期性運(yùn)動經(jīng)歷的時間是多少？

Answer 1

分析 （1）電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，速率不變，B越大，軌跡越小，從而畫出電子的運(yùn)動軌跡．
（2）電子在磁場中運(yùn)動時由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得軌道半徑，根據(jù)幾何關(guān)系求出對應(yīng)的距離．
（3）得出周期的表達(dá)式，根據(jù)幾何關(guān)系求出時間．

解答 解：
（1）電子在同一磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$知B越大，r越小，畫出運(yùn)動軌跡如圖所示．  

（2）電子做勻速圓周運(yùn)動時，由洛侖茲力提供向心力，所以有 $eBv=\frac{{m{v^2}}}{R}$
得 $R=\frac{mv}{qB}$
可見電子在x軸上方磁場的運(yùn)動半徑為 ${R_1}=\frac{mv}{eB}$
下方磁場的運(yùn)動半徑為 ${R_2}=\frac{mv}{2eB}$
所以電子運(yùn)動一個周期沿 x 軸移動的距離是 $x=2（{R_1}+{R_2}）=\frac{3mv}{eB}$
（3）因?yàn)?T=\frac{2πR}{v}$得 $T=\frac{2πm}{eB}$
可見電子在x軸上方磁場的運(yùn)動周期為 ${T_1}=\frac{2πm}{eB}$，下方磁場的運(yùn)動周期為 ${T_2}=\frac{πm}{eB}$
所以電子運(yùn)動一個周期經(jīng)歷的時間是 $t=\frac{{{T_1}+{T_2}}}{2}=\frac{3πm}{2eB}$
答：
（1）畫出電子完成第一個周期性運(yùn)動的軌跡如圖所示；
（2）電子完成一次周期性運(yùn)動沿x軸移動的距離是$\frac{3mv}{eB}$．
（3）電子完成一次周期性運(yùn)動經(jīng)歷的時間是$\frac{3πm}{2eB}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的時間，常常根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}$T求出，θ是軌跡的圓心角，根據(jù)幾何知識求解．